DM Etudes de fonctions

[Mathiasjls]

Bonjour à tous, je bloque complètement sur mon DM

 

f(x) : x^2 ln(x)  si x est supérieur à 0

       : 0 si x est inférieur ou égal à 0

1. Quel est le domaine de defintiton de la fonction f ?

2. Montrer que f est continue et dérivable sur R. Déterminer f'(x) pour x6= 0

3. Montrer que f est continue en 0.

4. Montrer que f est dérivable en 0 (limx→0f(x)/x)

5. Etudier le signe de f'

.6. Determiner les branches infinies au graphe de f.

7. Donner l'équation de la tangente Tf(1) au graphe de f au point d’abscisse  x = 1

Combien l'équation f(x) =−1/e^4 possède de solutions ? Expliquer

[julesx]

Bonjour et bienvenue sur le site.

1) x²ln(x) est définie pour tout x strictement positif

la fonction nulle est définie pour tout x donc, en particulier, pour x<=0.

Le domaine de définition de f(x), égal à le réunion des deux domaines, est R.

2) La fonction nulle est continue et dérivable sur tout R.

Pour x>0, la fonction x²ln(x) est le produit de deux fonctions continues et dérivables.

f(x) est donc bien continue et dérivable sur R.

Je suppose qu'on veut f'(x) pour x>=0.

f(x) est de la forme u*v avec u=x² et v=ln(x). Tu dois savoir calculer sa dérivée.

3) Il faut vérifier que la limite en 0 est la même des deux côtés. Utilise le fait que x*ln(x) tend vers 0 lorsque x tend vers 0.

4) Comme dit dans l'énoncé, cherche la limite de x²ln(x)/x lorsque x tend vers 0 (revoir ci-dessus).

5) Ne devrait pas te poser de problèmes.

Regarde déjà tout cela et poste tes résultats.

[Mathiasjls]

Bonjour, déjà merci beaucoup pour votre aide, voici mes résultats : f(x) : u*v donc f'(x) = u'v+v'u

soit : 2x*ln(x)+(1/x)*x^2

Pour le 3) Je dirais que lim(x^2)x → 0 : 0

lim (ln(x)) x → 0 : - l'infini

Je ne sais pas comment conclure ça...

4 ) lim(x) x→ 0 vaut également 0 mais je pensais qu'un dénominateur ne pouvait pas être négatif ?

 

Merci beaucoup d'avance,

 

[julesx]

2) Oui pour la dérivée, mais tu peux simplifier l'expression car x>0 pour cette partie de f(x), donc x²/x=x et f'(x)=2xln(x)+x=x[2ln(x)+1]

3) A gauche x=0, donc limite _x->0 x=0.

A droite, x²ln(x)=x*xln(x) et on sait que limite _x->0 xln(x)=0 (voir cours sur la fonction ln). A fortiori, la limite de x*xln(x) est nulle.

Les limites à gauche et à droite étant égales, f(x) est continue en 0.

4) Un peu le même principe :

A gauche x=0 dont la dérivée est également nulle.A droite limite _x->0 x²ln(x)/x=limite _x->0 xln(x)=0.

Donc f'(0)=0.

Je ne comprends pas ce que vient faire ici ta remarque "je pensais qu'un dénominateur ne pouvait pas être négatif ?"

5) A gauche de 0 f'(x)=0. A droite, f'(x) est du signe de 2ln(x)+1. Je te laisse terminer.

6) Revoir ce qu'on dit dans ton cours à propos des branches infinies.

7) A toi...