étude d'une fonction

[Yuuki19]

Bonjour,

En ce moment je suis sur exercice de maths sur lequel je bloque et que je n'arrive pas à faire, j'aimerais donc un peu d'aide.

Voici l'énoncé:

Partie A- étude d'une fonction

Soit f définie sur ]0;+ infini[ par f(x)= (1+x)/x (racine carré de 1+x-1)

1)

a) Déterminer lim x tend vers + l'infinie f(x)

b) Montrer que pour tout x de ]0; + l'infinie[, f(x)= (1+x)/(1+racine carré de 1+x)

c) En déduire lim x tend vers 0 f(x)

2)

a) Montrer que f est dérivable sur ]0; + l'infinie[ et que pour tout x de ]0;+ l'infini[,

f'(x)=(1+1/2 racine carré  de 1+x)/ (1+racine carré de 1+x)²

b) Dresser le tableau de variation de f sur ]0;+ l'infini[

c) Montrer que: f ([1/2;1])  appartient [1/2;1]

Partie B- étude d'une suite

Soit (un) définie par: U0=1 et Un+1= f(un)

1) Montrer par récurrence; que pour tout n de N, un e [1/2;1]

2) Montrer, par récurrence, que pour tout n de N, un+1<un

3) En déduire que (un) converge vers un réel a solution de l'équation f(x)=x

Partie C- Propriété de a

Soit g définie sur [0;+ l'infin[ par g(x)= 3x au cube+ x²-1

1)Montrer que g est strictement croissante sur [ 0;+ l'infini[

2)Montrer que pour tout x de ]0; + l'infini[, f(x)=x  flèche g(x)=0. En déduire que a est l'unique solution dans [0; +l'infini[ de l'équation g(x)=0

3) Donner un encadrement d'amplitude 10 puissance -3 de a.

 

Merci d'avance de vos réponses.

 

[Barbidoux]

pour débuter ....

Partie A
f(x)=(1+x)*(√(1+x)-1)/x
1a-----------
lorsque x->∞ alors
lim f(x)=(1+x)*(√(1+x)-1)/x =x*√x/x=√x -> ∞
1b-----------
f(x)=(1+x)*(√(1+x)-1)/x=f(x)=(1+x)*(√(1+x)-1*(√(1+x)+1)/(x*(√(1+x)+1)
=(1+x)*x/(x*(√(1+x)+1)=(1+x)/(√(1+x)+1)
1c-----------
lorsque x-> lim f(x)=(1+0)/(√(1+0)+1)=1/2
2a-----------
f(x) est le rapport de deux fonctions dérivables sur ]0, ∞[ donc dérivable sur cet intervalle
f'(x)= 1/(√(x+1)+1)-√([x + 1)/(2 (√(x+1)+1)^2)=(√(x+1)+2)/(2*(√(x+1)+1)^2)
x étant >0 sur ]0, ∞[, f'(x) l'est aussi et la fonction f(x) est croissante sur cet intervalle.
2b-----------
x…………….0……………………........……………..∞
f'(x)………………………………(+)………………
f(x)…………(1/2)……………croissante………∞

2c-----------
f'(x) étant >0 sur ]0, ∞[, la fonction f(x) est croissante sur cet intervalle.
f(0)=1/2, f(1)=2/(1+√2)<1
On en déduit que
f([1/2;1]) appartient à [1/2;1]