Géométrie et vecteurs

[Mathou12345]

Bonjour, j'ai un dm de maths à faire, j'ai réussi la partie A mais je n'arrive pas à la partie B car nous ne l'avons pas travailler en classe.

Quelqu'un pourrait t-il m'aider s'il vous plaît?

Voici l'énoncé:

Partie B :

On rappelle que les médianes d'un triangle sont concourantes en un point appeler centre de gravité d'un triangle.

Soit ABC un triangle A', B' ,C' les milieux respectifs des côtes [BC] [AC] et [AB]

0) Il s'agit de montrer que pour tout point M du plan on a l'égalité :

MB⃗ +MC⃗ =2 M⃗A' où A' est le milieu de [ BC ] .
Le point M qui intervient est quelconque, (on veut montrer que cette égalité est vraie

quel que soit le point M considéré). En particulier dans la question 1) a) on appliquera cette égalité pour M =G .

L'idée ici est d'appliquer la relation de Chasles et de faire apparaître le point A' milieu de [BC ] dans l'égalité précédente.

On se donne donc un point M quelconque du plan. On décompose : MB⃗ =MA⃗ '+A⃗' B et

MC⃗ =MA⃗ '+A⃗' C où A ' est le milieu de [ BC ] .
Le membre de gauche vaut : MB⃗ +MC⃗ =M⃗A' +A⃗' B+M⃗A'+A⃗'C .

Pour montrer l'égalité, il reste alors à montrer que :

M⃗A' +A⃗' B+M⃗A' +A⃗'C=2 M⃗A' ,

soit 2 M⃗A'+A⃗' B+A⃗' C=2 M⃗A'

Pourquoi a-t-on cette égalité?.... Plus précisément que vaut A⃗' B+A⃗' C ? … (utilisez le

fait que A' est le milieu de [ BC ] ).
1) a) Montrer que : GB⃗ +GC⃗ =2G⃗A' .

Appliquer la relation obtenue pour tout M précédemment au point G .

b) En déduire AG⃗ en fonction de A⃗A' .

Partir de la relation GB⃗ +GC⃗ =2G⃗A' et utiliser la relation GA⃗ +GB⃗ +GC⃗ =⃗0 ,

pour montrer que : AG⃗ =2G⃗A' (on rappelle que : AG⃗ =−GA⃗ .)



Puis pour déterminer une relation entre AA⃗ ' et AG⃗ utiliser la relation de

Chasles permettant de décomposer GA⃗ ' en GA⃗ +AA⃗ ' dans la relation précédente,

… et réduire et simplifier.



2) Tracer le triangle ABC et construire G .

Utiliser la relation déterminée au 1) b) pour placer G.

3) Quelles autres égalités peut-on écrire de même? Qu'en déduit-on sur le point G ?

Ce travail mené pour le point A et le point A' milieu de [ BC ] , peut être mené

similairement, pour le point B et le point B' milieu de [ AC] , ou encore pour

le point C et le point C' milieu de [ AB] . On obtient alors une relation entre BG⃗ et BB⃗ ' , ou encore entre CG⃗ et CC⃗ '
. Que peut-on en déduire pour le point G?

[pzorba75]

Juste pour t'aider à démarrer cet exercice ultra classique qui traîne partout sur Internet si tu cherches un tout petit peu.

SI A' est le milieu de [BC], alors vec(A'B)+vec(A'C)=vec(0).

vec(MB)+vec(MC)=2*vec(MA')+vec(A'B)+vec(A'C)=2*vec(MA') =>vec(MB)+vec(MC)=2*vec(MA')

En plaçant M en G, vec(GB)+vec(GC)=2*vec(GA').

À toi de rédiger et de montrer ce que tu as fait.