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Exercice sur la Dérivation


Shadowless

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Bonjour,

Voici un exercice d'entraînement que je dois faire. Mais je n'y arrive pas. Pouvez-vous m'aider ?

Voici le sujet :

1) Soit f la fonction définie sur ]-1 ; + :infini:[ par f(x) = x/(x+1). Démontrer que f est  dérivable en 2 et déterminer f'(2).

2) Soit f la fonction définie sur [0 ; +:infini:[ par f(x) =:sqrt:x+2. Démontrer que f est dérivable en 3 et déterminer f'(3).

 

Merci. 

 

 

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  • E-Bahut
il y a 13 minutes, Shadowless a dit :

1) Soit f la fonction définie sur ]-1 ; + :infini:[ par f(x) = x/(x+1). Démontrer que f est  dérivable en 2 et déterminer f'(2).

il faut calculer (f(2+h)-f(2))/h et montrer que l'expression obtenue tend vers une limite finie (le nombre dérivé égal à f'(2)) lorsque h->0

2) Soit f la fonction définie sur [0 ; +:infini:[ par f(x) =:sqrt:x+2. Démontrer que f est dérivable en 3 et déterminer f'(3).

il faut calculer (f(3+h)-f(3))/h et montrer que l'expression obtenue tend vers une limite finie (le nombre dérivé égal f'(3)) lorsque h->0

 

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  • 1 mois plus tard...

Bonjour,

Je reviens sur ce sujet car j'aimerai savoir si j'ai juste. J'attendai la correction de l'exercice mais enfin de compte nous l'avons pas corriger. Pouvez-vous me dire si mes réponses sont correctes.

Voici mes réponses :

En remplaçant par , on peut affirmer que le taux d'accroissement de la fonction f entre 2 et 2+h est donné par [ f(2+h) - f(2)] / h .

Or f(2) = 2/2+1= 2/3 et f(2+h) = (2+h)/[(2+h) + 1] = (2+h) / (3+h).

Ainsi il vient [f(2+h) - f(2)] / h =  [(2+h)/(3+h)] - (2/3) / h.

Nous allons utiliser la technique de la quantité conjuguée ; la quantité conjuguée de [(2+h)/(3+h)] - (2/3) est  [(2+h)/(3+h)] + (2/3).

Nous allons donc multiplier le taux d'accroissement par la fraction [(2+h)/(3+h)] + (2/3) / [(2+h)/(3+h)] + (2/3).

On peut donc écrire 

[f(2+h) - f(2)] / h =  [(2+h)/(3+h)] - (2/3) / h =  [(2+h)/(3+h)] - (2/3) / h * [(2+h)/(3+h)] + (2/3) / [(2+h)/(3+h)] + (2/3) =  [(2+h)/(3+h)] - (2/3) *  [(2+h)/(3+h)] + (2/3) / h( [(2+h)/(3+h)] + (2/3)) 

A l'aide de l'identité remarquable (a-b)(a+b) = a² - b², on a

[(2+h)/(3+h)] - (2/3) *  [(2+h)/(3+h)] + (2/3) =  [(2+h)/(3+h)] ² - (2/3)² = [(2+h)/(3+h)] - 2/3 = h.

Ensuite je n'ai pas continué car j'ai eu un doute sur ma méthode mais pour le deuxième cas j'ai terminé. J'ai commencé le deuxième puis j'ai recopié la même méthode pour le premier.

2. 

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Pouvez-vous me corriger ?

Merci . 

 

 

 

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