Inégalité

[3021]

Bonjour,

je vous sollicite pour m'aider à établir l'inégalité suivante.

J'ai pensé à la démonter par récurrence, mais je n'arrive pas à établir l'itération...

J'ai aussi essayé d'étudier le signe de la différence, ou bien encore le quotient des deux, mais puisqu'on ne sait pas si les Ul sont <1, je bloque. Faudrait-il alors se lancer dans une disjonction de cas ?

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir,

Je vais te donner un indice soft pour le moment.

Tu as raison sur le fait de faire une récurrence. Pour effectuer l'hérédité, il faut multiplier par autant de terme que nécessaire pour construire les deux produits au rang n+1. Ensuite, en exploitant la croissance de la suite et la transitivité de l'inégalité, le tour sera joué.

Courage (si on te le fait, tu n'auras rien appris) !

 

[3021]

Merci pour vos indications, j'ai réussi la récurrence !!

[Boltzmann_Solver]

Je t'en prie même si je n'ai pas fait grand chose.

Si tu peux, tu peux poster pour contrôler la logique de ta rédaction.

[3021]

Voici comment j'ai procédé pour l'hérédité. 

[Boltzmann_Solver]

Avant de commenter, tu es en terminale ou en première année de prépa ?

[3021]

Je suis en première année de prépa

[Boltzmann_Solver]

Oki ! Quelques éléments de correction ce soir, je détaillerai plus demain. Mais on sent que tu as bossé et c'est déjà pas mal. Suivant le niveau de ta prépa, ça peut passer comme ça, je pense sauf pour la première * qui est une erreur de logique.

* Quand tu poses ton hypothèse de récurrence, tu dois déclarer la suite (ul) avec 1 l n+1. Sinon, tu ne peux pas comparer ul avec u_{n+1} puisque la suite est définie jusqu'à un.

* L'inégalité (*) mérite d'être détaillée avec une ligne pour justifier u_{n+1}^k et le produit.

* Pour le c'est-à-dire, il vaudrait mieux montrer que produit l=1 jusqu'à k de (u_{n+1}/ul) est supérieur à 1. Cela rendrait l'établissement de la ligne suivante plus claire (ca fait un peu trop : ça se voit).

[Boltzmann_Solver]

[3021]

Je vous remercie une fois de plus, pour votre correction très détaillée !  

[Boltzmann_Solver]

il y a 13 minutes, 3021 a dit :

Je vous remercie une fois de plus, pour votre correction très détaillée !  

Pas de soucis mais elle n'est pas parfaite. J'ai écris 2 fois ul par copier coller et j'ai mis des équivalences alors que des implications suffisent pour une récurrence. D'ailleurs, j'ai pu voir que vous ne mettiez pas de connecteurs logiques excepté le donc. On ne les exige pas en classe ?

[Boltzmann_Solver]

RAS

[Boltzmann_Solver]

Une v2 suite à mes échanges avec @Barbidoux

[3021]

Pour les connecteurs logiques, c'est vrai que je n'en utilise pas beaucoup (et c'est une maladresse de ma part, notre professeur les exige !).

Votre correction est très claire, je n'avais pas pensé à à vérifier la propriété pour k=n+1. (Je crois qu'il y a une petite erreur à la dernière ligne, à droite de l'inégalité, il s'agit du produit des Ul pour l allant de 1 à n et non de 1 à k)

[Boltzmann_Solver]

il y a 12 minutes, 3021 a dit :

Pour les connecteurs logiques, c'est vrai que je n'en utilise pas beaucoup (et c'est une maladresse de ma part, notre professeur les exige !).

Votre correction est très claire, je n'avais pas pensé à à vérifier la propriété pour k=n+1. (Je crois qu'il y a une petite erreur à la dernière ligne, à droite de l'inégalité, il s'agit du produit des Ul pour l allant de 1 à n et non de 1 à k)

Tu as tout à fait raison. Une bête erreur de copier coller. Merci !

Pour information, il vaut mieux mettre des implications dans l'hérédité car  la réciproque est inutile. Pense à l'analogie des dominos : il suffit que le domino n fasse tomber le domino n+1 tandis que le domino n+1 ne fait pas tomber le domino n.