Sous-différentiel d'une fonction

[Chaka]

Bonsoir, 

ci-joint un exercice de DM sur lequel je travail.

Je voudrais avoir une correction de mes réponses.

Je modifierais ce message au fil de mon avancement sur l'exercice

Merci d'avance 

Problème 2:

Première partie:

1) a) f(x) =x^2

f_m(x)= mx-x^2 définie sur R de la forme ax^2+bx+c avec a<0 donc f_m admet bien un maximum

b) on cherche z max tel que mx-f(x)=<z pour (m,x) € R2

(j'ai fais comme si je prenais la forme canonique et je calcul les coordonnées du sommet)

forme cano : a(x-h)^2 +k

h=-b/2a je trouve m/2 et k= 4ac-b^2=f(h)=m^2/4

c) on pose x=m/2

pour rappel f(x)=x^2 on a donc pour x=m/2:

f(m/2) -> f'(m/2)=2m/2 = m

on a donc bien ce que l'on cherche... 

2) a)A^T est l'ensemble des réels tel que f(x)=ax avec a € R 

mq f(x) = ax admet un maw uniquement pour A^T = {a}

or a € R donc {a} C R (inclus dans R)

d'où f(x) = ax admet un max 

d'où A^T = {a}

mq f^t (m)=0

or sup(mx)=ax

donc mx-ax=0

d'où f^t(m)=0

mq d_f(a)=R

le sup étant 0 pour tout x € R on a bien un antécédent pour f(x) =ax = 0 tel que a=0 et a€R

d'où d_f(a)=R