DM sur les suites et le multiplicateur keynésien

[evanescafe]

Bonjour à tous,

Je suis en terminale ES et j'ai un DM de maths à faire pour la rentrée sur le multiplicateur keynésien. J'ai répondu aux deux premières parties mais je bloque vraiment avec la dernière depuis une semaine maintenant.

Voici l'énoncé du sujet:

Sur le modèle du multiplicateur d'investissement de Keynes, un investissement réalisé par un Etat engendrera dans la population des revenus plus importants que son montant. Par exemple, considérons le cas où un état investit un montant de 10 millions d'euros pour la construction d'une cité scolaire. Ce montant est versé aux entreprises intervenant dans la construction. On admet que 15% de ce montant est épargné par les entreprises. Les 85% restants sont réinvestis dans l'économie et seront, à leur tour, épargnés à la hauetur de 15% et réinvestis à hauteur de 85% et ainsi de suite.

Partie 1: La première partie est sur la modélisation de la situation On a U₀= 10 000 (montant en milliers d'euros investi lors du n-ième cycle) et de ce fait on trouve que Un= 10000*0,85ⁿ

Partie 2: La seconde partie est sur le cumul des revenus avec le tableur (je n'ai pas joint la feuille du tableur car elle n'est pas directement en lien avec la 3ème partie)

Partie 3: Enfin, la troisième partie est sur le cumul des investissements

1) Justifier que In = 10000(1+0,85+0,85²+...+0,85ⁿ)

2) On note S= 1+0,85+0,85²+...+0,85ⁿ
En remarquant que 0,85*S = 0,85 + 0,85²+...+0,85ⁿ⁺¹ , prouver que 0,15*S = 1-0,85ⁿ⁺¹

3) En déduire l'expression de In en fonction de n

Mes réponses:

1) On sait que In = u₀*qn
De plus: qn = 1+(85/100) = 1+0,85
et: u₀= 10 000
Donc In = 10 000*(1+0,85 + 0,85²+...+0,85ⁿ)

2) Je n'ai pas réussi...Je n'arrive ni à remarquer la deuxième expression donnée ni à prouver la troisième... Je ne sais pas du tout comment faire...

3) In= 10000*1,85ⁿ (je l'ai déduit grâce à ma réponse à la question 1)

Si quelqu'un aurait la gentillesse de m'aider pour la deuxième question, je lui en serais très reconnaissante...!

Merci d'avance et agréable journée à tous,

xxx

[julesx]

Bonjour et bienvenue sur le site.

1) Je ne te suis pas tout à fait. Pour moi, il faut écrire que In est la somme des Un, donc In=10000+10000*0,85+...+10000*0,85ⁿ et simplement ensuite, mettre 10000 en facteur.

2) Il faut voir que 0,15*S=(1-0,85)*S=S-0,85*S

Je te laisse remplacer S et 0,85*S par leurs expressions et simplifier l'expression obtenue.

3) Il n'y a plus qu''à diviser par 0,15 et multiplier par 10000 pour obtenir In.

@+ si nécessaire.

 

[evanescafe]

@julesx merci beaucoup pour votre réponse !

Je ne suis pas sûre de comprendre comment on a remarqué que 0,85*S = 0,85 + 0,85²+...+0,85ⁿ⁺¹ pour la première partie de la question 2... 

[julesx]

il y a 45 minutes, evanescafe a dit :

Je ne suis pas sûre de comprendre comment on a remarqué que 0,85*S = 0,85 + 0,85²+...+0,85ⁿ⁺¹ pour la première partie de la question 2... 

Tout simplement, en multipliant S par 0,85 :

S= 1+0,85+0,85²+...+0,85ⁿ

=>

0,85*S=0,85*(1+0,85+0,85²+...+0,85ⁿ)=0,85+0,85²+0,85³+...+0,85ⁿ⁺¹

OK ?