limites de fonctions et de suites

[kiiy2811]

Bonjour, j'ai un exercice à faire mais je suis pas sur de mes réponses pouvez vous s'il vous plait m'expliquer en vous remerciant d'avance .

Il y a deux questions indépendants l'une de l'autre.

1) L'affirmation suivante est- elle vraie ou fausse: 

Si lim (x---> + infini ) f(x) /g(x) =1 alors lim (x----> +infini ) f(x) - g(x) =0 

Ce que j'ai fait = on sait que g(x) ne s'annulent pas sino f(x)/g(x) aurait été égale à +ou - l'infini 

f(x) n'est pas égale à 1 sinon f(x)/ g(x) aurait été égale à 0 

L'affirmation est vraie car f(x) et g(x) doivent avoir la même limite qui ne tend pas vers + ou - l'infini mais un chiffre ou un nombre ce qui donne 1 . Si les deux limites sont soustraies elles seront égales à 0 vu que c'est les mêmes limites. 

2) Soit n un entier naturel 

quel est le nombre de solutions de l'équation x^n =1-x

Ce que j'ai fait = x^n =1-x

racine de x^n =racine de 1-x

x= racine de 1-x

Soit f une fonction continue sur un intervalle ] -l'infini ; 1] et soit k un réel . si k est compris entre f(a) et f(b) , alors il existe un reel c appartient à [a;b] tel que f(c) =k f est continue et strictement décroissant sur ] - linfini; 1] Il existe une solution pour la fonction x^n = 1-x

En calculant on peut voir que f(1)=0 donc f(1) appartient ]-l'infini ; 1] et donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires , l'équation x^n = 1 -x possède au moins une équation 

En vous remerciant de votre réponse cdt 

[Black Jack]

Bonjour,

1) Que penses-tu par exemple de  f(x) = sin(1/x) et g(x) = 1/x ?

 

 

[julesx]

Je suppose que tu n'es plus en première, donc remets à jour ton profil.

2) Ton point de départ du raisonnement est faux, la racine de xⁿ n'est pas x. Par contre, l'idée d'utiliser le théorème des valeurs intermédiaires est bonne, mais le mieux est de l'appliquer à la fonction f(x)=xⁿ+x-1 en cherchant combien elle peut avoir de zéros en fonction de n.

Il faut évidemment trouver son sens de variations, donc dériver f(x) et chercher le signe de f'(x) et les limites de f(x) en fonction de n. Tu vas constater que ce qui intervient est la parité de n. Traite à part le cas de n=0 sauf si on t'a dit en cours que 0 est exclu de cette catégorie.

[kiiy2811]

Bonjour, 

Merci pour vos réponses 

1) pour f(x)= sin (1/x) lim 0 la fonction converge vers 0

pour g(x)= 1/x lim 0 la fonction converge également vers 0 

Donc f(x)/ g(x) on obtient sin (1/x) /1/x tout les deux convergent vers 0 c'est une forme indéterminée si on les divise par contre  si on les soustraie on obtiendra 0 

L'affirmation est donc fausse on n'aura pas forcément lim f(x) / g(x) =1 alors lim f(x)-g(x)=0 

2) f(x)=x^n +x-1

ensuite on fait la dérivation = nx^n-1 +1  

x               0                                             5                                                        + l'infini

f'(x)                                                        +

f(x)         O           croissant                160019                   décroissant 

n=0  f(0)=0

On utilise le théorème des valeurs intermédiaires 

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b] et soit k un réel , si k est compris entre f(a) et f(b) , alors il existe un réel c qui appartient à [a;b] tel que f(c) =k 

f est continue et croissant sur l'intervalle [0;5] puis décroissant sur ]5;+ infini [ 

Donc 0 appartient à [0;5] Et donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires , l'équation f(x)= x^n+x-1 possède au moins une solution . 

Pensez vous que les résultats sont bons sinon pouvez vous m'expliquez les erreurs ?

En vous remerciant d'avance cdt

[julesx]

1) Ton raisonnement n'est pas bon. On a bien sin(1/x) et 1/x qui tendent vers 0, mais tu as dû voir en cours que sin(u)/u tend vers 1 lorsque u tend vers 0. Il suffit de remplacer u par 1/x pour voir que sin(1/x)/(1/x) tend vers 1 lorsque x tend vers l'infini. On est donc bien dans le cas envisagé par l'énoncé. Par contre, sin(1/x)-1/x tend vers -∞ lorsque x tend vers +∞ puisque sin(1/x) est compris entre -1 et 1 et que 1/x tend vers l'infini. L'affirmation est donc fausse puisque tu as trouvé un contre-exemple.

 2) Il faut envisager 3 cas. Rappel, je note f(x) la fonction xⁿ+x-1 dont la dérivée est n*x^n-1+1. Par ailleurs, il n'y a aucune raison de limiter le domaine de définition de f(x), qui reste égal à R puisque n est un entier naturel.

* n=0 : f(x)=1+x-1=x qui s'annule une fois sur R => 1 solution.

* n impair : n-1 est pair et x^n-1 est toujours positif ou nul. Ceci entraîne que f'(x)>0 et que, sur R, f(x) est croissante de -∞ à +∞. D'après le TVI (en fait son corollaire), f(x)=0 a une seule solution sur R. Tu peux compléter ce cas par un tableau de variations.

* n pair : n-1 est impair et f'(x) s'annule pour  x^n-1=-1/n donc pour une valeur négative de x que je note x₀. Je te laisse faire un tableau de variations compte tenu des limites de f(x) en -∞ et +∞ et du fait que f(x₀) est négatif. Tu appliques ensuite le TVI sur chacun des intervalles ]-∞;x₀[ et ]x₀;-+∞[ pour montrer que f(x)=0 admet deux solutions dans ce cas.

[kiiy2811]

Bonjour, merci de votre réponse et de votre aide. Je pense que je viens de comprendre mes erreurs  par contre je voulais vous demandez si je pouvais quand même utiliser pour le 2) le théorème des valeurs intermédiaires . En vous remerciant de votre réponse cdt

[julesx]

Il y a 1 heure, kiiy2811 a dit :

 Par contre je voulais vous demandez si je pouvais quand même utiliser pour le 2) le théorème des valeurs intermédiaires.

Bien sûr, d'ailleurs c'est bien ce que suggérais dans mes réponses, non ? Simplement, pour le cas n=0, cela ne se justifiait pas puisque l'équation se ramenait à la solution évidente x=0.

[kiiy2811]

Merci de votre réponse et de votre patience  je vous l'avez demander pour etre bien sur que j'avais compris  cdt 

[julesx]

OK, @+ si nécessaire.