TS: Complexes

[Maelleli]

Bonsoir

J'ai un exercice à faire pour la semaine prochaine et certaines questions me bloquent.

Enoncé:

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (0, ,), on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives:

a=-3+i
b=1+3i
c= 4i
d= -3+4i

1) calculer l'affixe du milieu I du segment [AB].
2)a) calculer (d-b)/(d-a)
Que peut-on en déduire pour les points A, B, et D ?
b) Quel est l'ensemble des points M  du plan distincts de A dont l'affixe z est telle que       (z-b)/(z-a) est réel?
c) Déterminer l'unique réel x tel que (x-a)/(x-b) est réel.

3) a) Vérifier que (c-b)/(c-a) est imaginaire pur.
b) Démontrer que l'ensemble des points M distincts de A , dont l'affixe z est telle que (z-b)/(z-a) est imaginaire pur, est un cercle dont on précisera le centre et le rayon

Ce que j'ai fait:

1) I=(z_a+z_b)/2  
     I =  (-3+i+1+3i)/2
     I =2(-1+2i)/2
     I =-1+2i

2)a) (zd-zb)/(zd-za)=(3+4i-1-3i)/(3+4i+3-i)
                                          = (2+i)/(6+3i)                                    
                                          =(2+i)/3(2+i)
                                          =1/3

1/3BD=AD, par conséquent les vecteur BD et AD sont colinéaires. Nous pouvons en déduire que les points A, B, C et D sont alignés.

b) (z-b)/(z-a)

=[(x+yi)-(1+3i)]/[(x+yi)-(3+i)]

=(x+yi-1-3i)/(x+yi+3-i)

=[x-1+i(y-3)]/[x+3+i(y-1)]

Et là je ne sais plus quoi faire, je dois multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur? Mais c'est quoi le conjugué? x-3-i(y-1)? ou (x+3)-i(y-1)?

Et dans tous les cas j'ai essayé et je ne trouve pas d'équations de droite, juste un truc avec x que je ne sais pas comment exploiter alors que j'ai l'habitude de trouver une equation de droite du type x+y-1=0 par exemple.

c) C'est à peu près la même chose, je retombe inlassablement sur une fraction simplifiée au maximum et je ne trouve pas de résultat...

Merci d'avance, c'est vraiment important pour moi d'avoir une bonne note à ce DM.

[Barbidoux]

2)a) calculer (d-b)/(d-a)
Que peut-on en déduire pour les points A, B, et D ?
b) Quel est l'ensemble des points M  du plan distincts de A dont l'affixe z est telle que       (z-b)/(z-a) est réel?

(z-b)/(z-a)=(x-1+(y-3)*i)/(x+3 +(y -1)*i)=(x-1+(y-3)*i)*(x+3-+(y -1)*i)/((x+3 +(y -1)*i)*(x+3 +(y -1)*i))= (x^2+2*x+y^2-4*y-2)+i*(4*y-2*x-10))/(x^2+6*x+10+y^2-2*y)

c’est un réel lorsque 4*y-2*x-10=0==> (lorsque z est sur une droite  d’équation y=x/2+5/2)

c) Déterminer l'unique réel x tel que (x-a)/(x-b) est réel.

(x-a)/(x-b)=(x+3+i)/(x-1-3*i)=(x+3+i)*(x-1+3*i)/((x-1+3*i)/(x-1-3*i)=(x^2+2*x-6+(4*x+8)*i)/(x^2-2*x+10)   c’est un réel lorsque x=-2 
3) a) Vérifier que (c-b)/(c-a) est imaginaire pur.

(c-b)/(c-a)=(-1+i)/(3+3*i)=(-1+i)(3-3*i)/(((3-3*i)/(3+3*i))-=i/3
b) Démontrer que l'ensemble des points M distincts de A , dont l'affixe z est telle que (z-b)/(z-a) est imaginaire pur, est un cercle dont on précisera le centre et le rayon

(z-b)/(z-a)= (x^2+2*x+y^2-4*y-2)+i*(4*y-2*x-10))/(x^2+6*x+10+y^2-2*y) c’est un imaginaire pur lorsque x^2+2*x+y^2-2*y-2=0 ==> x^2+2*x+2+y^2-4*y+4=6 ==> (x+1)^2+(y-2)^2=6 cercle de centre {1,-2} et de rayon √6

[Maelleli]

il y a 8 minutes, Barbidoux a dit :

2)a) calculer (d-b)/(d-a)
Que peut-on en déduire pour les points A, B, et D ?
b) Quel est l'ensemble des points M  du plan distincts de A dont l'affixe z est telle que       (z-b)/(z-a) est réel?

(z-b)/(z-a)=(x-1+(y-1)*i)/(x+3 +(y -1)*i)=(x-1+(y-1)*i)*(x+3-+(y -1)*i)/((x+3 +(y -1)*i)*(x+3 +(y -1)*i))= (x^2+2*x+y^2-2*y-2)+i*(4*y-4))/(x^2+6*x+10+y^2-2*y)

c’est un réel lorsque 4*y-4=0 ==> y=1 (lorsque z est sur une droite  d’équation y=4)

c) Déterminer l'unique réel x tel que (x-a)/(x-b) est réel.

(x-a)/(x-b)=(x+3+i)/(x-1-3*i)=(x+3+i)*(x-1+3*i)/((x-1+3*i)/(x-1-3*i)=(x^2+2*x-6+(4*x+8)*i)/(x^2-2*x+10)   c’est un réel lorsque x=-2 
3) a) Vérifier que (c-b)/(c-a) est imaginaire pur.

(c-b)/(c-a)=(-1+i)/(3+3*i)=(-1+i)(3-3*i)/(((3-3*i)/(3+3*i))-=i/3
b) Démontrer que l'ensemble des points M distincts de A , dont l'affixe z est telle que (z-b)/(z-a) est imaginaire pur, est un cercle dont on précisera le centre et le rayon

(z-b)/(z-a)= (x^2+2*x+y^2-2*y-2)+i*(4*y-4))/(x^2+6*x+10+y^2-2*y) c’est un imaginaire pur lorsque x^2+2*x+y^2-2*y-2=0 ==> x^2+2*x+2+y^2-2*y+2=6 ==> (x+1)^2+(y-1)^2=6 cercle de centre {1,-1} et de rayon √6

Merci beaucoup, je vais essayer de comprendre tout ça.

Pensez-vous que ma première partie est juste?

[Barbidoux]

Oui cela me semble correct

[Maelleli]

il y a 17 minutes, Barbidoux a dit :

2)a) calculer (d-b)/(d-a)
Que peut-on en déduire pour les points A, B, et D ?
b) Quel est l'ensemble des points M  du plan distincts de A dont l'affixe z est telle que       (z-b)/(z-a) est réel?

(z-b)/(z-a)=(x-1+(y-1)*i)/(x+3 +(y -1)*i)=(x-1+(y-1)*i)*(x+3-+(y -1)*i)/((x+3 +(y -1)*i)*(x+3 +(y -1)*i))= (x^2+2*x+y^2-2*y-2)+i*(4*y-4))/(x^2+6*x+10+y^2-2*y)

c’est un réel lorsque 4*y-4=0 ==> y=1 (lorsque z est sur une droite  d’équation y=4)

c) Déterminer l'unique réel x tel que (x-a)/(x-b) est réel.

(x-a)/(x-b)=(x+3+i)/(x-1-3*i)=(x+3+i)*(x-1+3*i)/((x-1+3*i)/(x-1-3*i)=(x^2+2*x-6+(4*x+8)*i)/(x^2-2*x+10)   c’est un réel lorsque x=-2 
3) a) Vérifier que (c-b)/(c-a) est imaginaire pur.

(c-b)/(c-a)=(-1+i)/(3+3*i)=(-1+i)(3-3*i)/(((3-3*i)/(3+3*i))-=i/3
b) Démontrer que l'ensemble des points M distincts de A , dont l'affixe z est telle que (z-b)/(z-a) est imaginaire pur, est un cercle dont on précisera le centre et le rayon

(z-b)/(z-a)= (x^2+2*x+y^2-2*y-2)+i*(4*y-4))/(x^2+6*x+10+y^2-2*y) c’est un imaginaire pur lorsque x^2+2*x+y^2-2*y-2=0 ==> x^2+2*x+2+y^2-2*y+2=6 ==> (x+1)^2+(y-1)^2=6 cercle de centre {1,-1} et de rayon √6

Pour la 2) b.

Pourquoi trouvez vous (x-1+(y-1)*i)/(x+3 +(y -1)*i) à la première étape?

J'ai : (z-b)/(z-a)=((x+yi)-(1+3i))/((x+yi)-(-3+i))

=(x+yi-1-3i)/(x+yi+3-i)

=(x-i+(y-3)i)/(x+3(y-i))

Vous ne vous êtes pas trompé d'affice pour B?

Et pour la c)

(x-a)/(x-b)=(x+3+i)/(x-1-3*i)

Normalement on fait plutôt:

(x-(-3+i))/(x-(1-3i))=(x+3-i)/(x-1-3i) Non?

[Barbidoux]

 

il y a 15 minutes, Maelleli a dit :

Pour la 2) b.

Pourquoi trouvez vous (x-1+(y-1)*i)/(x+3 +(y -1)*i) à la première étape?

J'ai : (z-b)/(z-a)=((x+yi)-(1+3i))/((x+yi)-(-3+i))

=(x+yi-1-3i)/(x+yi+3-i)

=(x-i+(y-3)i)/(x+3+(y-1)*i)

Vous ne vous êtes pas trompé d'affice pour B?

oui faute de frappe que j'ai rectifiée

(z-b)/(z-a)=(x-1+(y-3)*i)/(x+3 +(y -1)*i)=(x-1+(y-3)*i)*(x+3-(y -1)*i)/((x+3 +(y -1)*i)*(x+3 +(y -1)*i))= (x^2+2*x+y^2-2*y-2)+i*(4*y-4))/(x^2+6*x+10+y^2-2*y)

[Maelleli]

il y a 9 minutes, Barbidoux a dit :

oui faute de frappe que j'ai rectifiée

(z-b)/(z-a)=(x-1+(y-3)*i)/(x+3 +(y -1)*i)=(x-1+(y-3)*i)*(x+3-(y -1)*i)/((x+3 +(y -1)*i)*(x+3 +(y -1)*i))= (x^2+2*x+y^2-2*y-2)+i*(4*y-4))/(x^2+6*x+10+y^2-2*y)

 

Merci de m'avoir corrigée

[Barbidoux]

il y a 4 minutes, Maelleli a dit :

Merci de m'avoir corrigée

Vérifie quand même mes calculs car je vais vite et j'ai pu faire des erreurs... mais la marche à suivre est bonne.

[Maelleli]

il y a 1 minute, Barbidoux a dit :

Vérifie quand même mes calculs car je vais vite et j'ai pu faire des erreurs... mais la marche à suivre est bonne.

Bien entendu, merci de votre aide