Fonctions

[mwilli]

Bonjour à tous,

S'il vous plaît, merci de votre aide pour l'exercice ci-joint.

Je me permets de rappeler que je ne suis plus en classe depuis des décennies et que j'essaie non sans mal, de me replonger dans les mathématiques et autres sciences physiques. Merci donc d'avance de vos explications détaillées et pédagogiques. Ceci me permettra de profiter pleinement de vos contributions. Je m'excuse de la qualité du document liée à des insuffisances techniques.

Bien cordialement

[pzorba75]

1)

Pour "étudier" un fonction f, il faut préciser son domaine de définition, déterminer les limites aux bornes de ce domaine, éventuellement distinguer si f est paire ou impaire pour réduire le domaine d'étude. Ensuite, si f est dérivable, déterminer f' étudier le signe de f'(x) pour tracer le tableau de variations de f.

 

[mwilli]

Merci beaucoup pzorba75,

Pour la première question, je pense que ça va..

Merci de vos efforts pour le reste.

Cordialement

[Invité]

Bonjour ,

Une façon de simplifier l'étude des 2 premières questions est de poser X=exp(x). On est alors conduit à étudier la fonction Y=(1+X)/(1+X²) pour X>=0

La dérivée s'annule pour X=-1+√2 ce qui donne le max(Y)=(1+√2)/2 donc  max(f)=(1+√2)/2 pour x=ln(-1+√2)

[Invité]

La 2/ ne réclame qu'un simple calcul de vérification.

Il vaut mieux écrire la dérivée sous la forme

f'=e^x/(1+e^2x)-2(1+e^x)e^2x/(1+e^2x)²   d'où 1+(1+e^2x) f'(x)=1+e^x-2(1+e^x)e^2x/(1+e^2x)^,

après quoi, en mettant (1+e^x)/(1+e^2x) en facteur dans le second membre , on obtient ce qu'il faut.

3/a est immédiate

 

La suite va être surtout très difficile à écrire. Pas de Latex sur ce site...

[mwilli]

Bonjour à tous,

Merci beaucoup JLN. Je vais exploiter votre contribution et essayer d'avancer sur la suite de l'exercice..

Bien cordialement

[Invité]

Bonjour mwilli,

Mon idée de changement de variable à la première question est un peu délicat à manipuler en ce qui concerne l'étude complète de la fonction. On peut se contenter de l'utiliser pour la dérivée. Si l'on pose g(X)=f(X(x)), on a df/dx= (dg/dX)*(dX/dx) (dérivée d'une fonction composée). Comme dX/dx=e^x est  toujours positif, cette dérivée sera du signe de

dg/dX=(1-2X-X²)/(1+X²)²  qui est celui de son numérateur, etc.

[Invité]

Citation

un peu délicate...

 

[mwilli]

Merci infiniment JLN !

Tout ça est bien fait et très utile, je vais essayer d'en profiter au maximum.

Quant à ...."délicat" ou "délicate", je pencherais plutôt pour le masculin, car c'est relatif au "changement" de variable, masc., CQFD..

Bien cordialement

[pzorba75]

Je pense que c'est ton idée qui est délicate. Que le changement de variable reste délicat à manœuvrer est également vrai.

[Invité]

A la relecture ça m'avait choqué. Je me suis dit effectivement que c'était l'idée qui était délicate à exploiter, d'où le changement d'accord...Mais bon, l'autre version se tient je le reconnais bien volontiers.

[Invité]

@ mwilli,

A+ pour la suite  si vous le souhaitez.

[mwilli]

Merci beaucoup JLN pour la disponibilité et...la finesse d'esprit. 

A très vite .