Développement limité

[est01]

Bonjour à tous , pourriez vous m’aider s’il vous plaît pour cet exercice (bien qu’il ne soit pas niveau lycée )...

Soit f(x)=ln(x)/(2-x) 

en exploitant le résultat d’un développement limité que l’on précisera , calculer f^(k) en 1 pour k allant de 0 à 4.

 

voila ce que j’ai fait :

d’abord je pense qu’il faut un DL en 1 donc je pose x=1+h et je me retrouve avec le produit de 2 DL que je connais . Sauf que je ne sais pas à quel ordre les faire et sitôt je ne vois pas, comment à partir d’un DL je peux calculer les dérivées successives .

 

 

Merci d’avance et bonne soirée 

[Invité]

Bonsoir,

Elles vont se trouver ipso facto calculées. On aura

f(x)=f(1)+(x-1)f'(1)+((x-1)²/2) f"(1)+((x-1)³/6) f⁽³⁾(1)+((x-1)⁴/24) f⁽⁴⁾(1)+ o((x-1)⁴)

D'où déjà l'ordre où il faut aller. Ensuite ayant posé h=x-1, faire le DL en h en effectuant le produit des DL connus puis identifier.

[C8H10N4O2]

Il y a 2 heures, marcsa a dit :

Bonjour à tous , pourriez vous m’aider s’il vous plaît pour cet exercice (bien qu’il ne soit pas niveau lycée )... je ne vois pas, comment à partir d’un DL je peux calculer les dérivées successives .

C'est que tu n'as pas encore rencontré les formules de Mac Laurin et de Taylor...

[C8H10N4O2]

Une fonction pourvue de dérivées continues en 0 jusqu'à l'ordre n+1 admet un D.L. d'ordre n au voisinage de 0 : 

f (x) = f (0) + f⁽¹⁾(0).x + ... +{ f⁽ⁿ⁾(0) / n!} .xⁿ + xⁿ.ε(x) , Lim_x->0ε(x) = 0  , autrement dit, a_p = f^(p)(0) / p! 

C''est la formule de Mac Laurin. Pour l'étendre à un D.L. en x=a, avec a une valeur réelle quelconque, on effectue un changement de variable comme tu l'as bien suggéré : x=a+h , de sorte que x->a  lorsque h->0 . On obtient alors la formule de Taylor.

[est01]

D’abord Merci , j’ai déjà vu la formule de Taylor Young.

mais je ne comprends pas d’où sort la formule écrite par JNL

[Invité]

Ce n'est rien d'autre que la formule de Taylor avec reste d'Young au voisinage de 1. Mais c'est aussi le DL au voisinage du même point. Donc ayant calculé ce DL sans calculer les dérivées, mais par produit ou composition de DL classiques, on obtient les dérivées cherchées par simple identification.