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développement limité


C8H10N4O2
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Bonjour et bonne année à tous! 

À propos d'un D.L. d'ordre n au voisinage de 0  :  a0 + a1x + a2.x2 +...+ anxn + xn.ε(x) , je comprends que tout élément apxp de la partie polynomiale est un infiniment petit d'ordre p, mais j'aimerais savoir pourquoi on peut dire que le reste xn.ε(x) est un infiniment petit d'ordre supérieur à n. 

Quelqu'un aurait il une idée ? Ça me chagrine de ne pas le comprendre, puisque tout le principe du D.L. repose sur le fait que le reste soit d'un degré supérieur à celui de la partie polynomiale. 

Merci d'avance !

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Bonjour C8H10N4O2 et bonne année à vous. :)

Citation

j'aimerais savoir pourquoi on peut dire que le reste xn.ε(x) est un infiniment petit d'ordre supérieur à n

Je ne présenterais pas les choses tout à fait comme ça. Pour que  a0 + a1x + a2.x2 +...+ anxn + xn.ε(x) soit le DL à l'ordre n d'une certaine fonction x->f(x) au voisinage de 0, il faut que xn.ε(x) soit négligeable devant xn, donc soit un infiniment petit d'ordre supérieur à n. 

C'est d'abord une question de définition.

Mais c'est aussi une garantie quant à la précision de l'approximation.

Lorsqu'on effectue des DL de fonctions composées à un ordre un peu élevé, tout l'art consiste d'ailleurs  à bien prendre en compte tous les termes concernés, sans en oublier.

Mais peut-être n'ai-je pas répondu à la vraie question ?

 

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Merci de cette  réponse, JLN ,

Voici la définition du manuel d'analyse sur lequel je travaille. Le passage qui me pose problème est le suivant : "la condition { ε(x) -> 0 lorsque x-> 0 } fait de xnε(x) un infiniment petit d'ordre supérieur à n " 

J'avoue ne pas bien saisir pourquoi...

20180102_125739.jpg

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Un "infiniment petit d'ordre supérieur à n" est  un terme h(x) tel que lim x->0 h(x)/xn=0. On dit aussi qu'il est négligeable devant xn, et l'on note h(x)=o(xn) (notation de Landau,  désormais plus souvent adoptée dans les livres d'Analyse).

Or ici, h(x)=xnε(x)/xn=ε(x) ->0 par hypothèse (définition d'un DL à l'ordre n , cf ce que je disais hier).

xnε(x) est donc bien un infiniment petit d'ordre supérieur à n.

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Il y a 2 heures, JLN a dit :

Un "infiniment petit d'ordre supérieur à n" est  un terme h(x) tel que lim x->0 h(x)/xn=0.

Je ne comprends pas cette affirmation. Un infiniment petit f (x) d'ordre n au voisinage de a n'est-il pas défini par Lim [ f (x) / (x-a)] = A lorsque x->a, avec A une constante réelle non-nulle ? Le reste du raisonnement, j'ai compris, mais là je bloque...

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D'ordre n, oui, on note alors  f(x)=O((x-a)n), (ce qui signifie que f(x) et (x-a)n sont du même ordre de grandeur au voisinage de a), mais ici il s'agissait d'ordre supérieur à n au voisinage de 0. Et dans ce cas, f(x) est négligeable devant xn  et le rapport f(x)/xn tend vers 0 quand x-> 0 (en langage imagé, f(x) tend vers 0 beaucoup plus vite que x).

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