Nombres complexes

[mwilli]

Bonjour à tous, 

S'il vous plaît, merci de votre aide pour cet exercice: 

Simplifier les expressions suivantes (on pourra calculer Cn + iSn): 
1) Cn = 1 + cosx + cos2x +......+cosnx 
      Sn =  sinx + sin2x +.......+sin nx 

2)Cn = cos²x + cos²xcos2x +.....+cos^n xcos nx 
     Sn = cosxsinx + cos²xsin2x+......+cos^n xsin nx 

Merci d'avance de vos explications détaillées . 

[pzorba75]

Cn+i*Sn=1+cosx+i*sinx+cos2x+i*sin2x+...+cos(nx)+i*sin(nx)=1+e^{i*x}+e^{i*2x}+...+e^{i*nx}

Tu vois apparaître les termes du suite géométrique que tu peux calculer, ensuite tu identifies parties réelle et imaginaire pour obtenir Cn et Sn.

[mwilli]

Bonjour pzorba75,

Merci beaucoup et heureux de te retrouver !

Je vais essayer d'exploiter ces indications et revenir vers vous.

Cordialement

[pzorba75]

Cet exercice est une application des formules d'Euler :

cos(x)=(e^(ix)+e^(-ix))/2

sin(x)=(e^{ix)-e^(-ix))/(2i)

cos(x)+i*sin(x)=e^(ix)

et

cos(nx)+i*sin(nx)=e^(i*nx)

Souvent des calculs délicats où il faut être soigneux.

[mwilli]

Merci encore pzorba75.

Comme on ne se lasse pas d'apprendre, ne te lasse pas de m'expliquer ! 

Cordialement

[mwilli]

Bonsoir à tous,

En exploitant (ou en essayant d'exploiter) les indications données, je suis parvenu au résultat suivant:

Cn = [sin(n+1)x/2)/sin(x/2)]cos(nx/2) et Sn = [sin(n+1)x/2)/sin(x/2)]sin(nx/2)

Merci de corriger et m'aider pour le reste.

Cordialement

 

[pzorba75]

SI tu as trouvé seul C_n et S_n à la question 1, tu dois pouvoir trouver la solution de la question 2 où T=C_n+IS_n=(1-[cos(x)*e^(ix)]^(n+1))/(1-cos(x)*e^(ix))

Le développement de cette somme est assez fastidieux et conduit à la réponse demandée.

Quel est le titre du livre que tu utilises en classe?

[mwilli]

Bonjour à tous,

Merci beaucoup pzorba75.

En fait, comme je l'ai expliqué à plusieurs reprises lors de mes différentes inscriptions dans des sites, je ne suis plus en classe depuis bien longtemps. Pour répondre à la question, j'utilise surtout des polycopiés que des apprenants me refilent, j'exploite aussi assez largement le net, mais je n'ai pas de livre spécifique. Néanmoins, toute suggestion à ce sujet sera bien entendu, la bienvenue.

Cordialement

 

[pzorba75]

Un des livres les plus complets et parmi les mieux rédigés sur le programme de TS est le Radial éditeur Belin, ancien programme mais couvre largement vos préoccupations actuelles (un livre pour le programme de base et un livre pour le programme spécialité). Disponibles pour quelques euros chez Amazon. 

Les ouvrages du programme TS en cours actuellement BO 13 octobre 2011 sont ultra light, mais avec de belles images. Peu recommandables dans votre situation.

[mwilli]

Merci beaucoup pzorba75, bien noté.

Cordialement