second degrès vecteurs et droites

[lara23]

Dans un repère orthonormé (O;I;J), on considère le cercle C de centre A(3;2) et de rayon r=racine de 1.

1) justifier que C peut être défini comme l'ensemble des points M(x.y) tel que :

(x - 3)² + (y - 2)² - 12 =0

(j'y ai déjà répondu c’était simple)

2) On considère de droite dm passant par 0 et de vecteur directeur (1;m), m est un un nombre quelconque.

a) Démontrer que mx - y =0 est une équation cartésienne de dm. ( je l'ai faite aussi )

b) Démontrer que si M(x;y) est un point d'intersection de C avec dm, alors (1+m²)x - (6+4m)x +1 =0.

c)Calculer les deux valeurs de m pour lesquelles la droite dm est tangente à C.

d)Déterminer, en fonction de la valeur de m, le nombre de points d'intersections entre C et dm.

 

A partir de la b) je n'y arrive plus. Merci à toute aide pouvant être apportée

il y a 2 minutes, lara23 a dit :

Dans un repère orthonormé (O;I;J), on considère le cercle C de centre A(3;2) et de rayon r=racine de 1.

1) justifier que C peut être défini comme l'ensemble des points M(x.y) tel que :

(x - 3)² + (y - 2)² - 12 =0

(j'y ai déjà répondu c’était simple)

2) On considère de droite dm passant par 0 et de vecteur directeur (1;m), m est un un nombre quelconque.

a) Démontrer que mx - y =0 est une équation cartésienne de dm. ( je l'ai faite aussi )

b) Démontrer que si M(x;y) est un point d'intersection de C avec dm, alors (1+m²)x² - (6+4m)x +1 =0.

c)Calculer les deux valeurs de m pour lesquelles la droite dm est tangente à C.

d)Déterminer, en fonction de la valeur de m, le nombre de points d'intersections entre C et dm.

 

A partir de la c) je n'y arrive plus. Merci à toute aide pouvant être apportée

 

[PAVE]

Bonjour,

Avant même de poursuivre la lecture de ton énoncé, je m'étonne de ce morceau bizarre pour le moins :

Citation

de rayon r=racine de 1

Es tu sûre ?

[PAVE]

Ce qui est sûr, c'est qu'avec (12), c'est mieux !!

Ne crois tu pas ?

c) "si M(x;y) est un point d'intersection de C avec dm, alors (1+m²)x² - (6+4m)x +1 =0"

La relation obtenue est une équation du second degré (ax²+bx+c = 0

Le nombre de points communs de C et de Dm, dépend du nombre de solutions de cette équation du second degré...

Combien de solutions a une équation du second degré ?.

[lara23]

oui c'est avec racine de 12 excusez moi

 

 

elle peut en avoir  2 non ?

[PAVE]

Citation

elle peut en avoir  2 non ?

Ta réponse est bien incertaine et de plus assez incomplète ;

Une équation du second degré (ax²+bx +c = 0) peut avoir soit 2, soit 1 ,  soit 0 solutions. Oui ?

(et cela dépend de quoi le nombre des solutions ? revois si besoin ton cours sur les trinômes du second degré ax²+bx+c.)

[lara23]

oui tout cela se calcule avec delta

je sais que je dois calculer delta puis x1 et X2 le problème c'est que comme il y a des m un peu partout j'ai du mal a identifier quel chiffre et b

[PAVE]

C'est effectivement le discriminant (delta) qui détermine le nombre de solutions de l'équation et DONC le nombre de points d'intersection de la droite Dm avec le cercle (soit 2 points soit 1 seul point (tangence !!) soit 0 point.

 (1+m²)x² - (6+4m)x +1 =0

a = 1+m²

b = -(6+4m) [c'est simplement le coefficient de x]

et c= 1

Calcule ce discriminant qui va "dépendre" de.... m.

[lara23]

oui mais c'est les chiffres de a et de b que je ne sais pas déterminer

[PAVE]

Les coefficients a et b  sont des expressions littérales (qui contiennent le paramètre m donc il dépendent de m).

Cela ne t'empêche pas de calculer delta b² -4ac avec ces expressions.

Sans rapport direct :

Connais tu GEOGEBRA ? si oui l'as tu sur ton ordinateur ou ta tablette ?

[PAVE]

Suite :

(m) = b²-4ac

            = [-(6+4m)]² - 4*(1+m²)*1

            = ?? je te laisse développer et réduire cette expression (tu dois trouver un polynôme du second degré de la "variable"... m)

[lara23]

je connais mais je ne peux pas l'avoir sur mon ordinateur. et donc le polynôme que je trouve je le développe mais si j'obtiens une grande expression avec des m comment je fais pour calculer les 2 valeurs

[PAVE]

Essaye de me faire un peu confiance et fais ce que je te dis 

Calcule le discriminant qui est fonction de m (je te redis que l'on obtient un polynôme du second degré en m  soit Am²+Bm +C).

Un cas particulier quand m = 2... on voit bien que Dm coupe le cercle en 2 points C et D.

Quand m varie la droite Dm tourne autour du point O... il faut alors avoir GEOGEBRA pour VOIR ou un peu d'imagination pour imaginer ce qui se passe 

[lara23]

Ouiiiii j'ai trouvé le polynôme et donc avec ça je calcule delta ? c'est ça  

[PAVE]

Si tu me disais ce que tu as trouvé.....

Un autre cas particulier : si m=-1,5... la droite Dm ne coupe pas le cercle !!

[lara23]

12m²+4,8m+32

[PAVE]

il y a 16 minutes, lara23 a dit :

12m²+4,8m+32

1) je ne trouve pas 4,8 mais.... presque !

2) évite de "balancer" des expressions sans dire ce qu'elles sont (en clair / RÉDIGE)

Minimum : une égalité (m) =12m² + 48m +32

ou mieux pour bien montrer que tu sais ce que tu fais.....

L'équation du second degré en x : (1+m²)x² - (6+4m)x +1 =0 a pour discriminant (m) =12m² + 48m +32;

Si ce discriminant dont la valeur numérique dépend de m, est positif : l'équation en x a 2 solutions et donc la droite Dm coupe le cercle en 2 points.

Si ce discriminant est NUL : l'équation en x a .....

Si ce discriminant est négatif : l'équation en x a .....

Je te conseille de compléter les 2 phrases ci-dessus en t'inspirant de mon modèle. Il sera alors grand temps de retourner lire l'énoncé pour voir ce que l'on cherche.

[lara23]

merci et oui je dois chercher les deux valeurs de m pour l'histoire de la tangente au cercle

[PAVE]

Je pense que tu as compris mais ton "style rédactionnel" laisse à désirer.....

La droite Dm n'aura qu'un point commun avec le cercle (C) [point de tangence] si et seulement si l'équation en x n'a qu'une solution (racine double) donc si son discriminant est nul soit 

 (m) = 0

12m² + 48m +32 =0 équation du second degré en m (!!!)que je te laisse résoudre.

Bonne nuit.

[lara23]

merci pour votre aide bonne nuit

 

[lara23]

par contre j'ai trouvé delta=768

[lara23]

A non rien

[PAVE]

il y a 33 minutes, lara23 a dit :

par contre j'ai trouvé delta=768

moi aussi

Même remarque : de l'utilité de rédiger.... il y a le "delta" de l'équation en x  qui est (m) =12m² + 48m +32

mais aussi, et c'est de celui là dont tu parles et qui vaut 768, le discriminant de 12m² + 48m +32 = 0 ! Le discriminant du... discriminant !!

Attention de ne pas s'y perdre avec ces poupées russes....

[lara23]

mais je suis perdu c'est ça le problème 

[PAVE]

Je te propose de continuer demain car il est bien tard...

J'essaierai de te faire une synthèse de ce que nous avons fait.

Cette fois : bonne nuit.

[lara23]

vraiment désolé ... bonne nuit