exercice sur les complexes (maths sup)

[est01]

Bonsoir à toutes et tous, 
Pourriez-vous, s'il vous plaît m'aider pour cet exercice sur les complexes. J'ai réussi (je pense) les 3 premières questions mais bloque sur les 2 dernières. 
Voici l'énoncé: 
1. Calculer les racines complexes de l'équation: z²-1/5z+1/10=0 
On notera z1 la racine de partie imaginaire positive et z2 l'autre racine. 

2. Justifier qu'il existe un unique réel 0  [0,/2[ tq tan(₀₎=3 

3. Montrer que z1=cos(₀)+isin(0)/10cos(₀) 
et z2= cos(₀)-isin(₀)/10cos(₀) 

On pose, pour tout n, v_n=z1ⁿ+z2ⁿ 
Montrer que v_n est un nombre réel que l'on exprimera en fonction de n et ₀ 

5. Montrer que 10cos(₀)=10. En déduire que (v_n) est convergente et déterminer sa limite. 

Mes réponses: 
1. z1= 1/10+3/10i 
z2=1/10-3/10i 

2. sUR [0;/2[, tan est strictement croissante à valeurs dans [0;+[. Or 3[0,+[ donc d'après le théorème de la bijection il existe une unique solution ₀ tq tan(₀)=3. 

3. cos(₀+isin(₀₎/10cos(₀)= 1/10 + i/10 tan(₀) 
Or tan(₀₎)= 3 donc on a 1/10+3/10i= z1 
idem pour z2 

4. je trouve  
5. je n'arrive pas à montrer qu'elle est convergente et trouver la limite

 

Merci

[pzorba75]

Pour la 5)  -1<=cos(n*theta0)<=1 et théorème des gendarmes.