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division polynomiale


C8H10N4O2

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Bonjour à toutes et tous!

Comment cela se passe -t-il lorsqu'on divise un polynôme par un autre polynome de degré supérieur? J'utilise pour le cas inverse l'algorithme sur le modèle de la division euclidienne, mais comment faire pour effectuer 3x/x^2 +x+1? Mon corrigé dit que le polynome quotient est nul et le polynôme reste est egal au numérateur, mais je ne vois pas comment il en arrive à cette conclusion...

Merci d'avance pour votre aide :)

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Bonjpur,

Je pense qu'il faut en revenir à la définition; diviser P(x) par B(x), c'est trouver Q(x) et R(x) tels que

P(x)=B(x)Q(x)+R(x) avec deg(R) < deg(B). On démontre alors que Q(x) et R(x) sont uniques.

Ici, on a bien 3x=0*(x2+x+1)+3x . Donc c'est bien conforme à la définition. Attention, le degré du polynôme 0 n'est pas 0, mais défini comme étant -00 (pour des raisons que j'ignore qui relèvent sans doute d'un souci de cohérence dans des théories  plus savantes..Raisons qui poussent par exemple à convenir que 0!=1 )

Noter que dans l'arithmétique classique , si l'on veut diviser 3 par 7 dans Z, on a 3=0*7+3 comme résultat.

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Merci beaucoup JLN pour cette réponse très complète :)

Effectivement, je suis parti de cette définition, mais je n'y ai pas trouvé d'explication (comme une condition du type "l'algorithme de la division n'a d'intérêt que pour deg (P)>deg (B)" par exemple ) J'ai essayé d'appliquer l'algorithme quand même mais j'aboutis à des résultats absurdes... J'aurais aimé savoir démontrer Q (x) = 0 dans ce cas de figure !

Quand à 0! = 1 , je me souviens avoir passé des heures à en chercher la démonstration, avant de lire enfin noir sur blanc qu'il s'agissait d'une convention qui permet de définir la factorielle.

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La convention 0!=1 permet d'unifier les formules , par exemple celle du binôme de Newton (a+b)n=∑[k=0 à n] Cnk akbn-k, où Cn0=n!/(0!n!)=1. Sinon il faudrait isoler le premier terme et commencer la sommation à k=1.

Pour le reste je viens d'essayer avec un logiciel en ligne qui  donne explicitement 3x=0*(x2+x+1)+3x quand on lui demande d'effectuer la division euclidienne des 2 polynômes

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