division polynomiale

[C8H10N4O2]

Bonjour à toutes et tous!

Comment cela se passe -t-il lorsqu'on divise un polynôme par un autre polynome de degré supérieur? J'utilise pour le cas inverse l'algorithme sur le modèle de la division euclidienne, mais comment faire pour effectuer 3x/x^2 +x+1? Mon corrigé dit que le polynome quotient est nul et le polynôme reste est egal au numérateur, mais je ne vois pas comment il en arrive à cette conclusion...

Merci d'avance pour votre aide

[Invité]

Bonjpur,

Je pense qu'il faut en revenir à la définition; diviser P(x) par B(x), c'est trouver Q(x) et R(x) tels que

P(x)=B(x)Q(x)+R(x) avec deg(R) < deg(B). On démontre alors que Q(x) et R(x) sont uniques.

Ici, on a bien 3x=0*(x²+x+1)+3x . Donc c'est bien conforme à la définition. Attention, le degré du polynôme 0 n'est pas 0, mais défini comme étant -00 (pour des raisons que j'ignore qui relèvent sans doute d'un souci de cohérence dans des théories  plus savantes..Raisons qui poussent par exemple à convenir que 0!=1 )

Noter que dans l'arithmétique classique , si l'on veut diviser 3 par 7 dans Z, on a 3=0*7+3 comme résultat.

[C8H10N4O2]

Merci beaucoup JLN pour cette réponse très complète

Effectivement, je suis parti de cette définition, mais je n'y ai pas trouvé d'explication (comme une condition du type "l'algorithme de la division n'a d'intérêt que pour deg (P)>deg (B)" par exemple ) J'ai essayé d'appliquer l'algorithme quand même mais j'aboutis à des résultats absurdes... J'aurais aimé savoir démontrer Q (x) = 0 dans ce cas de figure !

Quand à 0! = 1 , je me souviens avoir passé des heures à en chercher la démonstration, avant de lire enfin noir sur blanc qu'il s'agissait d'une convention qui permet de définir la factorielle.

[Invité]

La convention 0!=1 permet d'unifier les formules , par exemple celle du binôme de Newton (a+b)ⁿ=∑_{[k=0 à n]} C_n^k a^kb^n-k, où C_n⁰=n!/(0!n!)=1. Sinon il faudrait isoler le premier terme et commencer la sommation à k=1.

Pour le reste je viens d'essayer avec un logiciel en ligne qui  donne explicitement 3x=0*(x2+x+1)+3x quand on lui demande d'effectuer la division euclidienne des 2 polynômes

[C8H10N4O2]

Merci pour l'info, je n'avais pour ma part pas trouvé d'explication en cherchant sur le net, à croire que la division de polynômes avec deg (P) < deg (B) n'est pas chose couramment rencontrée...