les suites (récurrence)

[Lisa33]

Bonjour, je n'arrive pas à commencer cet exo même après y avoir réfléchis un moment, merci pour votre aide

 

Soient a et b deux réels positifs tels que a > ou = b.

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, n > ou = 1, aⁿ  - bⁿ < ou = n(a-b)*a^n-1

pour l'étape d'hérédité, on remarquera que a^p+1 - b^p+1 = a( a^p - b^p ) + ( a - b )*b^p .

Citation

 

Citation

 

 

[Barbidoux]

relation vérifiée à l'ordre 2 car si a≥b alors
a²-b²=(a+b)*(a-b)≤2*a(a-b)
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On suppose la relation vérifiée à l'ordre n soit aⁿ-bⁿ≤n*(a-b)*a^n-1
à l'ordre n+1 alors :
aⁿ⁺¹-bⁿ⁺¹=a*(aⁿ-bⁿ)+(a-b)*bⁿ≤n*a*(a-b)*a^n-1+(a-b)*bⁿ≤n*(a-b)*aⁿ+(a-b)*aⁿ=(n+1)*(a-b)*aⁿ
La relation, supposée vérifiées à l'ordre n, est démontré à l'ordre n+1. Elle est donc héréditaire et valide pour toute valeur de n

[Lisa33]

merci beaucoup pour l'aide, je n'ai juste pas tres bien compris ce passage:n*a*(a-b)*a^n-1+(a-b)*bⁿ≤n*(a-b)*aⁿ+(a-b)*aⁿ

[Barbidoux]

il y a 5 minutes, Lisa33 a dit :

merci beaucoup pour l'aide, je n'ai juste pas tres bien compris ce passage:n*a*(a-b)*a^n-1+(a-b)*bⁿ≤n*(a-b)*aⁿ+(a-b)*aⁿ

n*a*(a-b)*a^n-1+(a-b)*bⁿ et comme a>b alors aⁿ>bⁿ ==> n*a*(a-b)*a^n-1+(a-b)*bn ≤n*a*(a-b)*a^n-1+(a-b)*aⁿ

[Lisa33]

daccord merci