Nombres complexes

[mwilli]

Bonsoir à tous,

Merci d'avance à tous ceux qui pourront m'aider à résoudre cet exercice. Je signale au passage que je ne suis plus en classe depuis longtemps comme indiqué dans mon profil, et que j'aurai donc besoin d'explications détaillées, pédagogiques, claires. C'est ainsi que j'ai pu progresser avec votre aide.

Voici l'énoncé (mes excuses sincères pour la non utilisation de symboles mathématiques habituels que je n'ai pas pu insérer):

a) Montrer que 1+exp (i alpha) ------->(lire exponentielle i fois alpha) = 2cos (alpha/2)exp (i alpha/2).

b) Montrer que 'somme de k=0 jusqu'à n de C^k_n exp (i k alpha) = 2ⁿcosⁿ(alpha/2) e^{in alpha/2}

c) En déduire les sommes: S = somme de k=0 jusqu'à n de C^k_n cos kx et S' = somme de k=0 jusqu'à n de C^k_n sin kx.

OUF ! 

Encore merci à vous tous.

Bien cordialement

[pzorba75]

a)

e^(i*alpha)=cos(alpha)+i*sin(alpha)=2cos^2(alpha/2)-1+2i*cos(alpha/2)sin(alpha/2)=2cos(alpha/2)*[cos(alpha/2)+i*sin(alpha/2)]-1

<=> e^(i*alpha)+1=2*cos(alpha/2)*e^(i*alpha/2) CQFD

 

b) pas encore d'idée.

c) il suffit d'isoler les parties réelles et imaginaires de la réponse b) en passant par e^(i*alpha)=cos(alpha)+i*sin(alpha) et e^(i*alpha/2)=cos(alpha/2)+i*sin(alpha/2)

 

À toi de t'y coller...

[Invité]

Bonjour mwilli,

Pour la b/ il suffit de se rappeler de la formule du binôme de Newton.

∑_{[k=0 à n}} C^k_n exp (i k α) =(1+exp (i α))^n

il suffit ensuite d'appliquer la 1/ pour mettre 1+exp (i α) sous la forme "module--argument" (forme trigo) pour aboutir à ce qui est demandé (enfin j'espère...)

[mwilli]

Bonjour à tous,

Merci beaucoup à vous deux pzorba75 et JLN !

J'ai bien compris vos explications pour résoudre les deux premières questions; mais il me reste la c)...

Merci encore.

Cordialement

[pzorba75]

La question b) fera apparaître un complexe que tu exprimeras sous forme algébrique et que tu identifieras avec la forme algébrique de  2^n*cos^n (alpha/2)exp (i n*alpha/2) (avec e^(i theta)=cos(theta)+i*sin(theta).

Les calculs sont un peu "bourrins" pour cette période de l'année où les cerveaux ont basculé en mode "Tour de France". 

[Invité]

∑ C^k_n exp (i k alpha) = 2ⁿcosⁿ(alpha/2) e^{in alpha/2}

Le membre de gauche, c'est exactement S+iS'. Il suffit donc de mettre celui de droite sous forme algébrique et d'identifier.

[mwilli]

Merci beaucoup pour vos efforts.

pzorba75: Oh, que je vous comprends ! Il y a un temps à tout....

JLN: hyper content de vous retrouver après une séparation indépendante de notre volonté 

Bien cordialement et à bientôt!