EXERCICE IMPORTANT A FINIR POUR DEMAIN

[younes59]

On considére la fonction rationelle définie definie sur ]2/3;+infinie[:f(x)=(x^3+3x²+x-1)/(3x²+x-2)

1.verifier que (-1) est une racine du numérateur et du dénominateur .

2.en deduire une simplification de f(x).(par identification des coefficients a,b,c).

3.Calcler les limites de la fonction aux bornes de l'intervalle de définition ]2/3;+infini[

4.calculer la derivée de f(x).

5.dresser le tableau de variation de cette fonction.en deduire le(s) asymptote(s).

6.representer cette fonction et le(s) asymptote(s)

Merci de bien vouloir m'aider

cordialement younes9

[Barbidoux]

On considére la fonction rationelle définie definie sur ]2/3;+infinie[:f(x)=(x^3+3x²+x-1)/(3x²+x-2)
1.verifier que (-1) est une racine du numérateur et du dénominateur .
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f(x)=g(x)/h(x)
avec
g(x)=x^3 + 3*x^2 + x - 1
h(x)=3*x^2 + x - 2
g(-1)=h(-1)=0 ==> -1 (-1) est une racine du numérateur et du dénominateur .
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2.en deduire une simplification de f(x).(par identification des coefficients a,b,c).
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g(x)=(x+1)*(x^2+b*x-1)=x^3+(b+1)*x^2+(b-1)*x-1 ==> b=2 ==> g(x)=(x+1)*(x^2+2*x-1)
h(x)=(x+1)*(3*x-2)
f(x)=(x^2+2*x-1)/(3*x-2)
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3.Calcler les limites de la fonction aux bornes de l'intervalle de définition ]2/3;+infini[
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f(x)=(x^2+2*x-1)/(3*x-2)=x/3+8/9-(7/9)/(3*x-2)
lorsque x->∞ alors -(7/9)/(3*x-2)-> 0 et lim f(x)=x/3+8/9 -> ∞  ==> asymptote oblique d'équation y=x/3+8/9
lorsque x-> (2/3)⁺ lim f(x)=(22/9)/0⁺ -> ∞ ==> asymptote verticale d'équation x=2/3
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4.calculer la derivée de f(x).
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f'(x)=(2x+2)/(3*x-2)-3(x^2+2*x-1)/(3*x-2)^2=(3*x^2-4*x-1)/(3*x-2)^2
Le dénominateur s'annule pour x=(2-√7)/3 et x=(2+√7)/3 et est du signe du coefficient de x^2 à l'extérieur de ses racines
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5.dresser le tableau de variation de cette fonction.en déduire le(s) asymptote(s).
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x…………….2/3……………………….(2+√7)/3 ……………………..∞
f'(x)…………..||……….(-)………………(0)…………..(+)………………
f(x)……………|| ∞………décrois……..Min…………crois…………….
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6.representer cette fonction et le(s) asymptote(s)