Dérivabilité

[Shelly213]

Coucou tout le monde , 

J'ai besoin d'aide, s'il vous plait. 

Exercice 1: Montrer les inégalités suivantes:

1. Pour tous réels x et h, I cos(x + h) - cos x I ≤ I h I 

???

2. Pour tous n appartenant à N*, 1/n+1 ≤ ln(n+1) - ln(n) ≤ 1/n

D'après le théorème des accroissements finis, il existe c appartenant à ]n ; n+1[ tel que f(b) - f(a) = f'(c)(b-a) <=> ln(n+1) - ln (n) = n +1 - n * (1/c) = 1/c

Comme n≥1

n < c < n+1

1/n <  c < 1/n+1

1/(n+1) < ln(n+1) - ln(n) < 1/n

Exercice 2: A l'aide du thm des accroissements finis, calculer la limite de x^2(e^1/x+1 - e^1/x) quand x tend vers +oo 

???

Exercice 3: On prend 100 comme valeur approchée de sqrt(10001). A l'aide du thé des accroissements finis, majorer l'erreur commise. 

On pose f(x) = sqrt(x)

Soit a = 10000 car sqrt(10000) = 100 et b = 10001

f est continue sur [10000 ; 1001] et dérivable sur ]10000 ; 1001[ et il existe c appartenant à ]10000 ; 10001[

f(10001) - f(10000) = (10000 - 10001)f'(c)

sqrt(10001) - 100 = f'(x) 

....... 

1 /( 2*(sqrt(10001)) ≤ sqrt(10001) - 100 ≤ 1/200

 

Est-ce que ma rédaction est bonne ? Merci d'avance pour vos aides,

[pzorba75]

1. Pour tous réels x et h, I cos(x + h) - cos x I ≤ I h I 

???

Une piste : lim_{h->0}(cos(x+h)-cos(x))/h=-sin(x)  et -1<=-sin(x)<=1 pour conclure.

 

[Shelly213]

Bonsoir,

Voici ce que j'ai fait:

Soit x, h des réels, x<h 

f:[x,h] -> R

..... .... 

D'après le the des accroissements finis, il existe c appartenant à ]x+h ; h[

f(x+h) f(a) = f'(c)(b-a)

cos(x + h) - cosx = f'(c)(b-a)

I cos(x + h) - cosx I = I f'(c)(b-a) I

Soit x appartenant à [x+h , h] f'(x) = -sin x

Or 1<=-sin(x)<=1

Donc I cos(x + h) - cosx I = I h I

Merci