Fonctions

[Ch00Ch00]

Bonsoir,

J'aurais besoin de votre aide s'il vous plait. Merci d'avance,

1) La fonction f : x-> x sin (1/x)  possède t elle un extremum local en 0.

f(x) = x*sin(1/x) 
f'(x) = sin(1/x) - ( cos(1/x) ) / x
Comment étudier le signe et les variations de cette fonction ? Afin de déterminer si elle possède un extremum local en 0.

2) Proposer un exemple d'application du théorème de Rolle où '' c '' n'est pas unique dans la conclusion.

3) Montrer que pour tous réels a et b, I sin a - sin b I ≤ I a - b I

Soit f une fonction continue sur [a,b] sur R et dérivable sur ]a,b[.

Alors il existe c appartenant à f'(c) = ( f(b) - f(a) ) / (b - a)

On pose f(x) = sin x, f est continue sur R et est dérivable sur R

f'(c) = ( (f(a) - f(b) ) / (a - b)

cos c = ( (sin a - sin b) / (a - b) ) 

I cos c I = I (sin a - sin b) / (a - b) I 

A partir d'ici, je n'y arrive plus. Pourriez vous me donner des pistes s'il vous plait, Merci, 

Merci d'avance, 

 

[Barbidoux]

Il y a 2 heures, Ch00Ch00 a dit :

3) Montrer que pour tous réels a et b, I sin a - sin b I ≤ I a - b I

Soit f une fonction continue sur [a,b] sur R et dérivable sur ]a,b[.

Alors il existe c appartenant à f'(c) = ( f(b) - f(a) ) / (b - a)

On pose f(x) = sin x, f est continue sur R et est dérivable sur R

f'(c) = ( (f(a) - f(b) ) / (a - b)

cos c = ( (sin a - sin b) / (a - b) ) 

I cos c I = I (sin a - sin b) / (a - b) I =I (sin a - sin b) |/ |(a - b) I

et comme cos c I≤1 ==> I (sin a - sin b) |≤ |(a - b) I

 

 

 

[Barbidoux]

1) La fonction f : x-> x sin (1/x)  possède t elle un extremum local en 0.

f(x) paire donc graphe symétrique / axe des ordonnées,  f(0)=0 et pour a≠ 0 ou appartenant à ]-1/π, 1/π[ alors f(-a)=f(a)≠0 ==> (Théorème de Rolle) x sin (1/x)  possède un extremum local en 0.