Dérivée

[Ch00Ch00]

Bonjour,

Je voudrais savoir si ce que j'ai fait est bon ? Ou bien si je suis sur la bonne voie.

Exercice 1:

En utilisant la définition de dérivée en un point, calculer f'(x0) pour x0 = 2, f(x) = x^2 - 4x + 5 et donner l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 2.

D'après la définition de la dérivée, f'(x0) = lim (x tend vers x0) ( (f(x) - f(x0)) / (x-x0) ) 

f'(2) = lim (x tend vers 2) ( (f(x) - f(2) ) / (x-2) )

f'(2) = lim (x tend vers 2) ( (x^2 - 4x + 5 - f(2) ) / (x-2) )

Après je ne vois pas comment faire, j'ai essayé de le faire mais je ne trouve pas la même dérivée que l'on fait '' normalement '': 

f'(x) = 2x - 4

L'équation de la tangente je trouve y = 1.
Pourriez vous m'aider avec la définition en un point. Merci, 

Exercice 2: 
On considère la fonction f définie par:   
f: [2 ; +oo[ -> R 
x -> f(x) = sqrt(x^2 - 4x + 8) 

1) Prouver que f réalise une bijection de I = [2 ; +oo[ -> R sur son image (que l'on précisera) 

x -> x^2 est continue sur R+ 
x -> -4x + 8 est continue sur R 
x -> sqrt(x) est continue sur R+ 
par composition, x -> sqrt(x^2 - 4x + 8) est continue sur R+ 

f(2) = sqrt( (2)^2 - 4*2 + 8) = 2 
lim f (lorsque x tend vers +oo): +oo 
Ainsi f réalise sur une bijection de  [2 ; +oo[ vers [2 ; +oo[. 

2)  Prouver que la bijection réciproque  f est continue 
Soit y appartient à [2 ; +oo[ et x = f-1 (y) appartient à [2 ; +oo[ 
y = f(x) <=> y = sqrt(x^2 - 4x + 8) 
Je suis bloqué à partir d'ici. 

3) Déterminer cette bijection réciproque. 
 

Merci d'avance,

Bonne soirée,

[PAVE]

Bonsoir,

Juste un coup de pouce sur le premier exercice....

 (x^2 - 4x + 5 - f(2) ) / (x-2) =   (x^2 - 4x + 5 - 1 ) / (x-2)

...................................................= (x²-4x+4) / (x-2)

...................................................= (x-2)²/(x-2) avec x2

...................................................= x-2

Quand x tend vers 2, x-2 tend vers 0. 0 est le nombre dérivée de f en x0 = 2 (on ne cherche pas LA dérivée) Ce nombre 0 est la valeur de la fonction dérivée quand x = 2.

NB : C'est bien ce que l'on obtient comme valeur de la dérivée f '(x) = 2x-4 quand x= 2  :  f '(2) = 2*2-4 = 0

Ce nombre 0 est aussi le coefficient directeur de la droite tangente à Cf au point d'abscisse 2 ! D'ailleurs c'est bien ce que tu as trouvé puisque ta tangente à pour équation y = 1 (ou y = 0*x +1) droite parallèle à l'axe des abscisses.

[Ch00Ch00]

Merci beaucoup,

Bonne soirée,