math 3eme panneau

[ewagor]

Merci de m aider.

Un panneau mural a pour dimensions 240 cm et 360 cm. On souhaite le recouvrir avec des carreaux de forme carrée, tous de la même taille, posés bord à bord sans jointure et sans découpe.
 
1) Peut-on utiliser des carreaux de : 10 cm de côté ? 14 cm de côté ? 18 cm de côtés ? 2) En comparant les décompositions en produit de facteurs premiers de 240 et 320, trouver quel est le plus grand diviseur commun à ces deux nombres. En déduire le plus long côté que l’on puisse choisir pour les carreaux. 3) Si l’on choisit des carreaux de 15 cm de côté, combien de carreaux va-t-on devoir utiliser au total ?

[volcano47]

240 et 360 sont (sans faire de calcul) divisibles tous les deux par 10. Si on considère des carreaux de côté 10 , on voit bien qu'on pourra en mettre (si on représente le panneaux par un rectangle)  36 colonnes de 24 carreaux ou, (ce qui revient au même !) 24 lignes de 36 carreaux. Et on utilisera 864 carreaux (ENTIERS sans découpe de carreaux)

Donc pour des carreaux de côté 10 cm, la réponse est oui.

Mais comme on ne considère que des carreaux entiers , je te laisse conclure pour les valeurs 14 et 18 cm

Plus généralement , si il y a p carreaux entiers de côté y qui "rentrent" dans 360 cm et q carreaux entiers identiques qui "rentrent" dans 240 cm, on peut écrire :

360 =p. y et 240 = q. y

p=360/y et q =240/y  et  p et q sont des nombres entiers de carreaux de côté y.

yest donc un diviseur commun de 240 et 360 : on nous demande le plus grand (le PGCD de ces deux nombres) ; tu trouveras 120 , ce qui signifie qu'on pourra recouvrir le panneaux avec 2 rangées de 3 carreaux , chaque carreaux ayant pour côté 120 cm car 360 = 3x120 et 240 =2x 120 (on ne peut pas plus grand avec des carrés entiers , il en faut donc 6)

Ensuite, je te laisse un peu bosser , mais 15 est un diviseur commun de 240 et de 360 donc c'est facile.