Puissance et limites

[evil07]

Bonjour , j'aimerais avoir une piste sur un exercice que je n'arrive à démontrer le voici :

Soit 0 < a < b deux réels fixé. Montrer que

- si x ∈]0, 1[ alors x^b < x^a et que

- si x ∈]1, +∞[ alors x^b > x^a .

J'ai compris que si x est compris entre 0 et 1 , plus la puissance tend vers + l'infini , plus x se rapproche de 0 et par conséquent x^b<x^a , mais je n'arrive pas à l'écrire. Merci d'avance pour vos réponses.

[Barbidoux]

si x ∈]0, 1[ alors ln(x) <0 et comme 0 < a < b   ==> a-b<0 ==> a*ln(x) -b*ln(x) >0 ==> ln(x^a) - ln(x^b) >0 ==> passage à l'exponentielle==> exp(ln(x^a) - ln(x^b)) >exp(0) ==> x^a /x^b >1 ==>x^a  >x^b

- si x ∈]1, +∞[ alors ln(x) >0 et comme 0 < a < b   ==> 0<a*ln(x) < b*ln(x) ==> 0<ln(x^a) < ln(x^b) ==> passage à l'exponentielle ==> exp(ln(x^a))< exp(ln(x^b)) ==> x^a<x^b

[evil07]

Ah d'accord je n'avais pas observé que le logarithme était nécessaire ! Merci beaucoup pour ton aide

[CitronVert]

Si tu as des puissances réelles à manipuler, il faut toujours faire ça. Passe par l'expression x^y = exp(y.ln(x)) et ensuite utilise les propriétés de exp et ln pour montrer ce qu'on te demande.