Intégration 1

[paul.azer]

Bonjour, j'ai un exercice à terminer et sur lequel je bloque. Si vous pouviez m'aider svp. Merci d'avance

Soit n un entier naturel non nul. On appelle fn la fonction définie sur [0 ; 1] par f_n(x) = x/(1+xⁿ) et on pose:

I_n = intégrale[0;1] (x/(1+xⁿ)) dx

1) a) Trouver a et b réels tels que pour tout x de [0 ; 1], x/(1+x) = a + (b/1+x)
b) En déduire une primitive de f₁ sur [0 ; 1].
c) Calculer alors I₁

2) Montrer que I₂ = ln(2)/2

3) a) Étudier les variations de la suite (I_n).
b) Montrer que pour tout n de N*, In ≤1.
c) En déduire que la suite (I_n) est convergente.

4) a) Montrer que pour tout u de [0 ; 1], 1-u ≤ 1/(1+u) ≤ 1
b) En déduire que pour tout n de N* et tout x de [0 ; 1], x(1-xⁿ) ≤ x/(1+xⁿ) ≤ x (*)
c) En déduire que pour tout n de N*, (1/2) - 1/(n+2) ≤ I_n ≤ (1/2)  (On pourra intégrer les inégalités (∗) ).
d) En déduire la limite de la suite (I_n)

 

Pour la 1/a/ j'ai trouvé a=1 et b=-1

Je ne vois pas trop pour la suite...

[volcano47]

pour le début (ok a=1 et b =-1) ; S(0 à 1) signifie somme de 0 à 1 ( puisque ce site ne donne pas non plus accès à une fenêtre de symboles)

I1 = S (0 à1) dx - S(0 à 1) dx /(1+x)  pour la deuxième on fait le changement de variable u =1+x donc dx =du et on trouve I1 = 1 - Ln 2

I2 = S(0 à 1) xdx / (1+x² ) or si on pose u = 1+x² , on a  xdx = du/2 donc l'intégrale est facile

[paul.azer]

Bonjour quelqu'un pourrait-il m'aider sur cet exercice svp ?

[volcano47]

c'est encore d'actualité (message du 26 avril !) ?

Et le début que j'ai posté, , il a servi à quelque chose ?

[Aurélie44]

Quelqu'un pourrait apporter de l'aide sur ce sujet car j'ai le même exercice à faire et je suis bloqué aussi.

Merci d'avance

[volcano47]

j'avais arrêté à S(1 à 2) de du/2u (et pas du/2 comme écrit par erreur ) en effet pour x=0 , u =1+x² =1 et pour x= 2, u =2.

donc on trouve bien I2 = Ln2/2

pour la suite, si Gn est une primitive de fn(x), on a In = Gn(1) -Gn(0)

fn(x) est la dérivée de la fonction G(x) et fn(x) = x/ (1+x^n) pour x variant de 0 (inclus)  à 1, x^n et donc fn(x) sont positif ; G(x) est donc croissante sur [0,1] , G(1) >G(0) et la suite est croissante

ensuite , je ne vois pas personnellement rapidement de manière de montrer que la suite est bornée supérieurement par 1; supposons que c'est vrai alors, la suite bornée et croissante est convergente.

4a) 0 u 1  par hypothèse donc 1 <=1+u et 1/(1+u)  1 (car 1+u>=0 )

d'autre part  -u² 0 donc 1-u²  1 ou (1-u)(1+u)  1 soit au total   1-u  1/(1+u)  1

4b) on pose u =x^n puis on multiplie les inégalités par x (dont on sait qu'il est positif)