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Exercice de trigonométrie assez compliqué


azerty0

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Bonjour à toutes et à tous !

Je m'adresse à vous car je rencontre des difficultés dans la résolution de cet exercice. Je suis en seconde mais ne pense que le prof nous donne des trucs plus durs. Donc voilà l'énoncé :

1) Soit un réel x appartenant à l'ntervalle (0;pi/2)

a) Placer sur le cercle trigononmétrique le point M, de coordonnées (cosx; sinx) et le point A de coordonnées (1; 0). Soit O le centre du cercle. (Fait)

b) En calculant de deux manières différentes l'aire de AOM, montrer que sinx=2sin(x/2)cos(x/2). (Fait)

c) Montrer que cette formule reste vraie sur les intervalles (-pi/2; 0) et (pi/2; 3pi/2) et sur tout IR (hésitations...)

 

2) On suppose maintenant que x appartient à )-pi;pi(, et on considère le point N du cercle de coordonnées (cosx ;sinx) et le point H de coordonnées (cosx; 0). Soient A(1; 0) et B(-1; 0)

a) Faire une figure. Combien vaut l'angle NBO ? (Fait)

b) Montrer que BH= 1+cosx (Fait)

c) Montrer que BH/BN = BN/BA = cos(x/2) (Fait)

d) En déduire que pour tout x appartenant à )-pi; pi(, cosx=2cos^2(x/2)-1. Cette formule est-elle vraie pour tout IR ? (Aucune idée)

e) Vérifier que pour tout x appartenant à IR, (2cos^2(x/2)-1)^2+(2sin(x/2)cos(x/2))^2=1

Je remercie par avance toutes les personnes qui auront la gentillesse de m'aider ! :)

 

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  • E-Bahut

b) Montrer que BH= 1+cosx (Fait)

c) Montrer que BH/BN = BN/BA = cos(x/2) (Fait) ==>BN = BA*cos(x/2)=2*cos(x/2) ==> BH=BN^2/BA ==> 1+cos(x)=2*cos(x/2)^2

d) En déduire que pour tout x appartenant à )-pi; pi(, cosx=2cos^2(x/2)-1. Cette formule est-elle vraie pour tout IR ? (Aucune idée)

e) Vérifier que pour tout x appartenant à IR, (2cos^2(x/2)-1)^2+(2sin(x/2)cos(x/2))^2=1

sin(x)=2*sin(x/2)*cos(x/2)
cos(x)=2*cos(x/2)^2-1
--------
sin(x)^2=(2*sin(x/2)*cos(x/2))^2
cos(x)^2=(2*cos(x/2)^2-1)^2
------------
1=(2*sin(x/2)*cos(x/2))^2+(2*cos(x/2)^2-1)^2

 

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Tout d'abord, un grand merci ! C'est vraiment très gentil ! Sachez que je ne recopierai pas bêtement les solutions. Je vais les comprendre et les retrouver par moi-même...

J'ai une toute petite question... Là-voici : lorsqu'on me demande de retrouver la formule sur d'autres intevalles (question 1-c), il faut que, selon l'intervalle considéré, je modifie le signe des sin et des cos et que je cherche à retomber sur la formule...

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