fonction du second degré

[Zacharuk Fifi]

Bonjour, cela fait plusieurs semaines que j'essaye de réalisé le sujet ci-dessous. Même avec l'aide de la leçon je n'y comprend rien...
Les mathématiques ont toujours était mon point faible. Merci de votre compréhension

 

Première Partie:
Un forain met en place un nouvelle attraction. Il veut déterminer le montant du ticket pour cette attraction.
Le coût journalier en fonction du nombre x de personnes qui utiliseront son attraction est donné par la relation ; C(x) = 0,01x²   + x + 500 pour un nombre prévisible d'utilisateurs compris entre 100 et 400.
x représente le nombre de tickets ou le nombre de clients.
 

Etudes du coût:
1. 1. En utilisant la calculette compléter le tableau de valeurs de l’annexe 1.
2. D’après les valeurs du tableau que peut-on dire de la variation du coût sur [100 ; 400] ?
3. Quel est le nom de la courbe représentative du coût ?
4. Décomposer la fonction C en deux fonctions f et g, f étant une fonction de la forme ax² et g une fonction affine.
5. Compléter le tableau de l’annexe 2 concernant les variations de C, f et g. La variation du coût déduite du tableau de valeurs du 2) est-elle confirmée ?

 

Étude du bénéfice :
Il envisage de vendre le ticket 8 €.
6. Calculer la recette pour 100 tickets, 200 tickets et 400 tickets vendus par jour.
7. En utilisant le tableau de valeurs du 2) et les résultats précédents, calculer le bénéfice pour 100, 200 et 400 clients.
Rappel : Bénéfice = recette – coût soit B(x) = R(x) – C(x)
8. Exprimer la recette R en fonction du nombre x de tickets vendus par jour.
 

Les courbes représentatives de la recette et du coût sont données en annexe 3.
9. Déterminer graphiquement le bénéfice pour 200 et 300 clients (laisser apparents les traits de construction).
10. Montrer que B(x) = –0,01x² + 7x – 500 puis vérifier les valeurs des bénéfices calculés à la question 7 en utilisant l’expression de B(x).
11. Déterminer l’extremum de la fonction B(x), puis dresser le tableau de variation de B(x) sur [100 ; 400].
12. Pour combien de clients journaliers aura-t-on un bénéfice maximum ? Quel sera ce bénéfice ?

Deuxième partie:
 Le forain veut déterminer le coût unitaire, c'est-à-dire le coût pour un client.
Le coût unitaire Cu se calcule en appliquant : Cu(x) = C (x) avec x ≠ 0
                                                                                        x
1. Montrer que : Cu(x) = 500  + 0,01x + 1
                                          x 
2. Calculer les coûts unitaires pour 100, 200 et 400 clients.
Le coût unitaire peut être décomposé en deux fonctions f et g telles que : f(x) = 500  et g(x) = 0,01x + 1  
                                                                                                                                 x                

3. Donner en justifiant la variation de la fonction f. Quel est le nom de sa courbe représentative ?
4. Donner en justifiant la variation de la fonction g. Quel est le nom de sa courbe représentative ?
5. D’après les variations de f et g, donner si possible la variation du coût unitaire. Justifier. 

 

La courbe représentative du coût unitaire est donnée en annexe 4 sur [100 ; 400].

6. Déterminer graphiquement le nombre de clients en arrondissant à la dizaine la plus proche qui donne un coût unitaire inférieur à 6 €. Laisser apparents les traits de construction.
7. Déterminer graphiquement le nombre de clients pour lequel le coût unitaire est minimum. Quel est ce coût ?
 

Pour déterminer algébriquement le nombre de clients pour lequel le coût est minimum on utilise la fonction dérivée qui sera vue en Terminale. La fonction dérivée du coût unitaire est la suivante : Cu’(x) =  − 500  + 0,01
                                  x²

Pour connaître l’extremum d’une fonction, on doit résoudre Cu’(x) = 0.
8. Résoudre Cu’(x) = 0 et vérifier la valeur trouvée au 7).
9. Conclure en expliquant pourquoi le choix d’un prix du ticket à 8 € est judicieux.

[Olivier0507]

L'argument  "j'ai ce devoir depuis plusieurs semaines / mois" que tu as utilisé plusieurs fois sur le forum est un peu facile... Quoi qu'il en soit, nous ne pouvons pas faire ce devoir pour toi, ça n'aurait pas grand intérêt. Ceci dit, nous serons ravi de t'aider si tu montres de la bonne volonté et que tu nous montres ce que tu as fait.

Q1 : C'est une application plus que directe du cours. Tu as une fonction C et tu as des valeurs (représentant le nombre de personnes fréquentant le manège) en lesquelles tu dois calculer le coût correspondant par la fonction C (on dit qu'on évalue la fonction C). Il y a juste à prendre son courage à deux mains et à tapoter sur sa calculatrice.

Q2 : Evident quand Q1 aura été faite. Tu verras bien si la fonction semble croissante, décroissante etc...

Q3 : Regarde la forme de l'écriture de la fonction C

La suite est du même état d'esprit. Au travail!

[Zacharuk Fifi]

oui je comprend,
j'ai donc essayée de faire ce devoir 
 

Etude du coût:
1. j'ai réussi à remplis l'annexe 1 : 
    x : 100   140    180         200         240       280           300           340         360        380         400
C(x): 700   836   1 004      1 100     1316      1 564        1 700         1996      2156      2324       2 500

 

2. D'après les valeurs du tableau nous pouvons dire que la variation du coût est croissante.

3. le nom de la courbe représentative du coût est......... ????

4. Pour la suite je ne sais pas comment décomposer la fonction C en deux fonction f et g. f étant une fonction ax² et g un fonction affine.et donc je ne peux pas remplir l'annexe 2.

Etude du bénéfice : 
Il envisage de vendre le ticket à 8€
6. pour calculer la recette pour 100, 200, 300, 400 tickets vendus par jour 
j'ai essayé se calcul mais je suis sur que c'est pas le bon.
- 8 * 100 = 800
- 8 * 200 = 1600
- 8 * 300 = 2 400
- 8 * 400 = 3 200

7. Pareil pour cette exercice j'ai essayer pleins de calculs et celui ma semblait le plus correct 
Bénéfice pour 100 clients: R(800) - C(700) = B(100)
"          "   pour 200 clients: R(1 600) - C(1 100) = B(500)
"          "  pour 400 clients : R(3 200) - C(2 500) = B(700)

8.Pour cette questions j'ai du mal à comprendre ce que je dois faire, si je dois refaire les même calculs que la Q7 en changeant le coût par le x ? ou autres chose ? 

Pour commencer j'aimerais que vous m'aidiez à comprendre et à me corriger si nécessaire pour cette partie là s'il vous plaît.

[Olivier0507]

Q1 : Je n'ai pas vérifié toutes les valeurs, je te fais confiance. Mais ça semble cohérent.

Q2 : Bien ajouter qu'il ne s'agit que d'une conjecture (puisqu'on demande de donner son opinion au vu de la courbe).

Q3 : La courbe représentative d'un polynôme du second degré est appelée une parabole (cf cours!).

Q4 : Qu'est ce qu'une fonction affine ? Sous quelle forme l'expression de telles fonctions peut-elle s'écrire ? L'identification est ensuite immédiate.

Q6 : Oui c'est ça!

Q7 : J'avoue que je ne comprend pas ton raisonnement. Pourquoi remplaces-tu x par des valeurs différentes?  B te donne les bénéfices en fonction du nombre x de clients. Si tu veux calculer les bénéfices pour 300 clients, il faut calculer B(x=300), qui est égal à... (je te laisse faire les calculs de ton exo)

Q8 : Il faut résoudre Cu'(x) = 0. Ecris l'égalité puis il faut résoudre cette équation simple.

[Zacharuk Fifi]

je ne comprend vraiment rien a la question 4, 7, 8 et toutes les autres je ne dispose d'aucune aide appart la votre! sa fait depuis ce matin 8 heure que j'essaye de comprendre je me casse la tête pour rien je suis complètement perdu. J'ai jamais réussi à résoudre un devoir entier de maths et même avec toute la volonté du monde j'y arriverais pas. 

dans mon futur métier sa ne me servira strictement à rien du tout "les maths" sa me démoralise encore plus ! 

[pzorba75]

Et l'orthographe, ça te servira probablement davantage.

[Olivier0507]

Tout d'abord, il faut que tu saches que l'argument "ça ne me servira à rien plus tard" n'est pas un argument valable. En effet, pour 80 % de tes camarades c'est la même chose : tout ce qui est vu en maths, en physique, en svt, en histoire (et j'en passe...) ne leur sera, en effet, pas "utile" plus tard. Mais là où tu te trompes, c'est que ce n'est pas cet objectif qui est visé. Le but n'est pas de t'enseigner des éléments "utiles pour plus tard" mais de te forger au raisonnement, à la prise de décisions, à la prise de recul par rapport à ton travail, de t'ouvrir l'esprit etc... Et tout ceci est bien plus important. Ainsi, les maths, sont un moyen pour te permettre d'acquérir toutes ces capacités ; qui te serviront quoi que tu fasses plus tard!! De plus, ce type d'exercices a, pour le coup, de réelles applications dans la vie de tous les jours. Tu seras peut-être amenée dans ta vie professionnelle à gérer une structure, une entreprise, un budget d'associations, de clubs etc... et tu te poseras nécessairement des questions autour des coûts, des bénéfices...

Ensuite, il ne faut absolument pas te démoraliser, tu n'es pas plus bêtes que les autres. Toutes les lacunes peuvent se rattraper avec de la persévérance et de l'investissement. Mais pour cela, il faut avant toute chose travailler le cours!!!!

Pour en revenir à ton exo, tu n'as pas répondu aux questions que je te posais (et qui sont des questions de cours)! Celles-ci avaient pour but de t'amener progressivement vers la solution, sans te la donner, de façon à ce que le raisonnement vienne de toi-même.

Q4 : Tu disposes de la fonction C définie par  C(x) = 0,01x²   + x + 500 et l'on souhaite "découper" cette expression en deux, de sorte que la somme de ces 2 "morceaux" de fonctions redonne l'expression de la fonction C initiale. Une fonction affine est une fonction de la forme f(x) = b*x + c , où c et d sont des nombres réels (cours de collège!!!). On souhaite donc décomposer la fonction C en une fonction g de la forme f(x) = a*x²  plus une fonction affine de la g(x) = b*x + c de sorte que C soit égale f + g. Le but de la question est de trouver la valeur des coefficients a, b et c .

--> Écris l'expression de f(x) + g(x)

--> Compare l'expression de C(x) et de f(x) + g(x)

--> Identifie les coefficient a, b et c permettant de passer d'une forme à l'autre.

Q7 : On te donne la définition de la fonction  B qui est B(x) = R(x) - C(x)

x représente le nombre de clients

B(x) les bénéfices réalisés pour x clients

R(x) la recette réalisée pour x clients

C(x) les coûts engendrés pour x clients.

 

Tu souhaites calculer les bénéfices pour x=100 clients, il faut que tu calcules B(100). Et comment peut-tu écrire B(100) ? (avec R et C). Ensuite, il n'y a plus qu'à mettre ça en oeuvre graphiquement

Q8 : Pour la 8, mea culpa, je me suis trompé dans mes explications (en fait, j'étais en train de t'expliquer la méthode pour résoudre la Q8 de la partie 2 et non la Q8 de la partie 1).

Déterminer graphiquement l'expression de R grâce à sa représentation graphique. (cours de collège!)

[Zacharuk Fifi]

je suis désoler mais je ne comprend vraiment rien j'ai passé mon week-end dessus ! je dois rendre ce devoir très prochainement je suis complètement démoralisée ! 

[Olivier0507]

A quelle question ? As-tu revu le cours sur les notions indiquées ? Les fonctions affines, c'est niveau collège, et ça constitue la base de la base. Si tu ne revoies pas les bases, on ne peut strictement rien faire en maths.

Je te fais également remarquer, que je t'ai posé plusieurs fois des questions, en te demandant d'y répondre pour te faire avancer, questions auxquelles j'attends toujours les réponses...

Je vais donc te donner la réponse à la question 4, pour tenter de te débloquer, mais je n'irai pas plus loin pour la suite, si tu n'expliques pas plus tes problèmes sur les questions et n'essayes pas d'instaurer un dialogue plus constructif en montrant ce que tu fais...

Q4 : 

C(x) = 0,01x²   + x + 500 peut se décomposer en :

f(x) = 0,01x²    (qui est bien de la forme ax², avec a = 0,01)        et      g(x)  = x + 500   (qui est une fonction affine)

Tu pourras vérifier que f+g redonne C.

[Zacharuk Fifi]

Je bloque à toutes les questions et j'ai bien relu mon cours pourtant ! merci pour la réponse de la question 4 mais pour remplir l'annexe 2 je suis toujours autant bloqué ! j'ai jamais rien compris en maths c pas maintenant que sa vas arriver ! 

Si j'ai pas répondu à vos questions c'est que je ne sais pas la réponse ! 

ce qui est vraiment bizard sur ce site c'est que y'a des personnes qui vous donne les réponses en vous expliquant comment ils ont fait (j'ai vu pleins de personnes qui ont écrit leurs sujet comme moi et ont leurs à donnés les réponses) ! Et y'a des personnes comme vous, après je comprend votre principe mais si je me suis inscrite sur ce site c'est parce-que je sais que en maths c'est le KO total ! 

[Olivier0507]

Il y a souvent beaucoup plus à apprendre qu'à "comprendre" en maths. Les questions que je te posais sont des questions de cours! Suffit de se donner un peu de mal et de chercher dans ses papiers... Encore faut-il bien le vouloir...

Effectivement, si tu comptes sur moi pour te donner les réponses de but en blanc ; et bien, oui, tu te trompes de personne. Ce n'est pas par "principe", comme tu le dis, c'est juste pour te faire avancer... D'ailleurs je pense pouvoir t'assurer, sans prendre grand risque de me tromper, que tu progresseras toujours plus en essayant de te heurter aux difficultés (comme j'essaye de t'y mettre) qu'en recopiant bêtement les réponses et avoir 20/20...

As-tu compris la réponse à la question 4 ? (sincèrement, ne dis pas oui pour me faire plaisir...)

Q5 sur l'annexe 5 : Là encore, c'est purement et simplement du cours sur les variations des fonctions de base... Il n'y a pas le moindre calcul à mener. Déterminer les variations, c'est dire si une fonction est croissante, décroissante, ou constante sur l'intervalle proposé.

Que dit ton cours, pour des valeurs positives de x, sur les variations de :

--> la fonction carrée (du type h(x) = x² ) ?

--> que peux-tu en déduire sur les variations de f(x) = 0,01 x²    (ton cours te l'indique en fonction du signe du coefficient qui est devant ; ici c'est 0,01)

--> g(x) = x+500 est une fonction affine croissante (car le coefficient multiplicateur du x  (1) est positif)

--> que dit ton cours, sur la somme de 2 fonctions croissantes ? décroissantes ? Que peux-tu en déduire sur f+g ? 

 

 

[Olivier0507]

[Zacharuk Fifi]

pour la question 4 j'ai compris mais j'aurais jamais pu le faire toute seul ! Je fais que relire mon cours et je vous avoue que c'est compliqué je n'arrive pas à trouver un exemple proche de mes exercices ! 

Le tableau que vous avez fait me permet de déterminer la variation merci. 

 

[Zacharuk Fifi]

J'ai réussi comme j'ai pu à m'avancer jusqu'à la question 10 mais je bloque complètement pour celle-la ainsi que la question 11 et 12

[Olivier0507]

Tu peux également mettre tes réponses en détaillant pour obtenir un avis, une piste etc... 

Q10 :  B(x) = R(x) – C(x)   Or C(x) est connue. Et R(x) a été déterminée par tes soins à la question 8. Reste à en faire la soustraction. Pour le calcul des valeurs, il s'agit de la même méthode utilisée en Q1.1.

Q11 : B est un polynôme du second degré. La méthode de détermination de l'extremum est de nouveau donnée dans ton cours, dans le chapitre que tu es en train (ou vient juste) d'étudier.

--> Pour quelle valeur de x obtient-on l'extremum de ce genre de fonction ? L'extremum est-il un maximum ou un minimum (s'obtient en regardant le signe de l'un des coefficients du polynôme). En notant x_etrem la valeur obtenue, il restera à calculer f(x_etrem ) pour obtenir la valeur extrémale en question que l'on pourra noter benef_extrem.

Q12 : Il s'agit de x_etrem et de benef_max trouvés à la question précédente.

[Zacharuk Fifi]

Pour la deuxième Partie
Q2
j'ai trouver sa : 
Pour 100 500 + 0,01*100+1=7
                100

Pour 200 500 + 0,01*200+1=5,5
                200

Pour 400 500 + 0,01*400+1=1,25
                400

Q3 J'ai trouvé sa : 
variation de la fontion f : f(100)=  500 = 5 (Pareil pour 200=2,5 et 400=1,25) 
                                                    100 

Variation de la fonction g : g(100) = 0,01*100+1= 2 (Pareil pour 200=3

 

[Zacharuk Fifi]

jai pa finit d'écrire la fin 
SUITE 

et 400=5

Pour f la courbe est décroissante 

Pour g la courbe est croissante

[Olivier0507]

Q2 : Ok!

Q3 : f est bien décroissante et g est bien croissante mais tu n'utilises pas du tout la bonne méthode pour le justifier (et donc tu n'utilises pas la méthode que ton prof attend). Toi, tu calcules des valeurs prises par la fonction en certains points particuliers (en 100, 200 et 400) et tu observes que, globalement, le résultat est de plus en plus pztit, donc tu en déduis que f est décroissante. Mais ce n'est pas parce que f(100) vaut 5 et f(200) vaut 2,5 que f est décroissante. On peut très bien imaginer une fonction pour laquelle f(100) soit égal à 5, f(150) soit égal à 999999999999 et f(200) soit égal à 5. Dans ce cas, la fonction ne serait pas croissante. Autrement dit, il est impossible de déterminer les variations d'une fonction de manière rigoureuse en calculant des valeurs particulières de celle-ci. Cette méthode nous donne au mieux une idée pour émettre une conjecture, mais cela ne prouve rien.

Il faut travailler avec l'expression de la fonction, en se ramenant à des expressions de base qui sont dans ton cours et pour lesquelles on connait les variations.

Il faut rédiger comme ça :

La fonction inverse (qui à x associe 1/x) est décroissante sur l'intervalle étudié. Et comme 500 > 0, la fonction f est décroissante sur ce même intervalle.

Je t'ai, me semble t-il, indiqué plusieurs fois comment justifier des variations d'une fonction affine (ce qu'est g).

[Zacharuk Fifi]

J'ai réussi à me débrouiller pour les exo par contre je suis vraiment bloquée pour la fin du devoir : 
 

Pour déterminer algébriquement le nombre de clients pour lequel le coût est minimum on utilise la fonction dérivée qui sera vue en Terminale. La fonction dérivée du coût unitaire est la suivante : 
 Cu'(x) = -500 + 0,01 
                x²

Pour connaître l'extremum d'une fonction, on doit résoudre Cu'(x) = 0

Q8. Résoudre Cu'(x) = 0 et vérifier la valeur trouvé Q7
Q9. Conclure en expliquant pourquoi le choix d'un prix du ticket à 8€ est judicieux.

Il ne me manque plus que c'est deux questions pour finir mon devoir.
Mais je n'arrive pas à résoudre la fonction. Pouvez-vous m'aider?

[Olivier0507]

Cu'(x) = 0

<=>  -500/x² + 0,01 = 0

Puis résolution de l'équation selon la méthode que tu connais (isoler x).

Tu trouveras que le coût est minimal pour sqrt(50000) clients (sqrt signifie racine carrée).

Et Cu( sqrt(50000) ) est environ égal à 5,50€ (je te laisse faire le calcul par toi même). Le prix fixé du ticket est supérieur au coût minimum de l'entrée (ce qui est logique, sinon l'entreprise vendrait continuellement à perte). 

[Zacharuk Fifi]

Pour isoler x : (je les décompose en deux x vu que c'est x² ) ?
-500/x =
0.01x= 

 

[Olivier0507]

Non surtout pas! x² signifie x*x (x multiplié par x). 

500/x² = 0.01 

<=> 500 = 0.01x²

<=> 500/0.01 = x²

<=> x = sqrt(50000)  où sqrt désigne la racine carrée

[Zacharuk Fifi]

Mais je comprend pas quel chiffre je dois mettre à la place du x ?

[Olivier0507]

Mais c'est une équation, non de non! On demande de trouver x par sa résolution. C'est qui est fait au-dessus puisque que l'on obtient une valeur pour x (qui correspond, comme je te le disais, au nombre de clients pour lequel le coût est minimal). Là tu abuses, revois ton cours de collège. Comment veux-tu avancer en maths si tu ne revois pas ces points élémentaires...

[Zacharuk Fifi]

ouais ok.