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Dm mathématiques Probabilités


TequilaHeineken

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Bonjour, j'ai un Dm à rendre bientôt sur les probabilités.

Exercice 1 :

Dans une tombola, on dispose de cent enveloppes : une enveloppe contient 20 €, cinq enveloppes contiennent 10 €, dix enveloppes contiennent 5 € et les autres sont vides. 
Chaque enveloppe est vendue au prix de 2 €. Un joueur achète au hasard une enveloppe et ne sait pas ce qu'il y a dedans !                                                                                                 On appelle X la variable aléatoire égale au gain algébrique (positif ou négatif) du joueur.


1a/ Quelles sont les valeurs prises par X ? Déterminer la loi de probabilité de X.

1b/ Comment noteriez-vous l’événement : "le gain du joueur est strictement supérieur à 3 € ?" Calculer la probabilité de cet événement.


1c/ Calculer l'espérance mathématique de X. Ce jeu est il favorable au joueur ?


1d/ Quel aurait du être le prix de chaque enveloppe pour rendre ce jeu équitable ?

 

Exercice 2 :

 

On dispose de trois cages oranges, deux cages rouges et une cage verte, et d'un lapin

Le lapin est lâché, et au bout d'un certain temps, il finit par rentrer dans l'une des cages.

S'il entre dans la cage verte, le jeu s’arrête et vous gagnez 50€.

S'il entre dans la cage rouge, le jeu s’arrête et vous perdez 40€.

S'il entre dans une cage orange, vous ne gagnez rien mais vous êtes obligé de rejouer une seule fois avec les mêmes règles, vous attendez que le lapin rentre dans une seconde cage, (le choix est indépendant de la cage ou il est rentré en premier) et le jeu se termine alors, vous gagnez 50 € s'il rentre dans la cage verte, perdez 40 € s'il rentre dans la cage rouge, et ne gagnez rien s'il choisit la cage orange.

 

1) Faire un arbre probabiliste de la situation étudiée.

2) On appelle G la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur lors de ce jeu.

a) Déterminer les valeurs prises par G.

b) Donner la loi de probabilité de G.

3) Le jeu est il favorable au joueur ? Expliquez votre démarche.

 

 

 

Donc pour l'exercice n°1 

1d) Je pense avoir trouver : 

Somme mise en jeu : 120€ 
Nombre total d'enveloppe : 100 
Prix normal d'une enveloppe : 2€ 

Pour que le jeu soit équitable il faudrait que le joueur ait 50% de chances de gagner, donc 

Somme mise en jeu / Nombre total d'enveloppe = 1€20 

 

 

 

 

 

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  • E-Bahut

Exercice 1 :
Dans une tombola, on dispose de cent enveloppes : une enveloppe contient 20 €, cinq enveloppes contiennent 10 €, dix enveloppes contiennent 5 € et les autres sont vides.  Chaque enveloppe est vendue au prix de 2 €. Un joueur achète au hasard une enveloppe et ne sait pas ce qu'il y a dedans !                                                                                                 On appelle X la variable aléatoire égale au gain algébrique (positif ou négatif) du joueur. 1a/ Quelles sont les valeurs prises par X ? Déterminer la loi de probabilité de X.
---------------
X:={18,8,3,-2}
P(X)=1/100,5/100,10/100,84/100}
---------------

1b/ Comment noteriez-vous l’événement : "le gain du joueur est strictement supérieur à 3 € ?" Calculer la probabilité de cet événement.
--------------
Le joueur à tiré une enveloppe contenant 5, 10 ou 20 €. La probabilité d'un tel événement est de P=1/100,5/100+10/100=16/100=16%
--------------
1c/ Calculer l'espérance mathématique de X. Ce jeu est il favorable au joueur ?
-------------
L'espérance x de gain est égale à
E(X)=somme Xi*Pi=18*1/100+8*5/100+3*10/100+(-2)*84/100=-0.8 €
la tombola n'est pas équitable
------------- 1d/ Quel aurait du être le prix de chaque enveloppe pour rendre ce jeu équitable ?
------------
Pour que le jeu soit équitable il faut que l'espérance de gain soit nulle x étant le prix de l'enveloppe
E(X)=somme Xi*Pi=(20-x)*1/100+(10-x)*5/100+(5-x)*10/100+(-x)*84/100=6/5-x=0 € ==> x=1.2 €
------------


suite à venir....

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  • E-Bahut

Exercice 2 :
 
On dispose de trois cages oranges, deux cages rouges et une cage verte, et d'un lapin
Le lapin est lâché, et au bout d'un certain temps, il finit par rentrer dans l'une des cages.
S'il entre dans la cage verte, le jeu s’arrête et vous gagnez 50€.
S'il entre dans la cage rouge, le jeu s’arrête et vous perdez 40€.
S'il entre dans une cage orange, vous ne gagnez rien mais vous êtes obligé de rejouer une seule fois avec les mêmes règles, vous attendez que le lapin rentre dans une seconde cage, (le choix est indépendant de la cage ou il est rentré en premier) et le jeu se termine alors, vous gagnez 50 € s'il rentre dans la cage verte, perdez 40 € s'il rentre dans la cage rouge, et ne gagnez rien s'il choisit la cage orange.
 
1) Faire un arbre probabiliste de la situation étudiée.
--------------

1.jpeg
--------------
2) On appelle G la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur lors de ce jeu.
a) Déterminer les valeurs prises par G.
--------------
G{-40,0,50}
--------------
b) Donner la loi de probabilité de G.
--------------
On la lit sur l'arbre
P(G)={1/2,1/4, 1/4}
--------------
3) Le jeu est il favorable au joueur ? Expliquez votre démarche.
--------------
L'espérance de gain est sommée par :
E(G)=somme Gi*P(Gi)=(-40)*(1/2)+0*(1/4)+50*(1/4)=-15/2
jeu non équitable défavorable aux joueurs qui perdent "en moyenne " 7.5 € par partie jouée
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