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Les probabilités


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Bonsoir, je bloque énormément sur cet exercice des probabilités continues. Voici le sujet:

Lucie se rend à l’université en vélo (à vitesse constante). Le trajet dure alors 20 minutes. Certains jours
(en moyenne, 1 jour sur 5), elle s’aperçoit, après être partie, qu’elle a oublié quelque chose. Si c’est le
cas, elle s’en rend compte après T minutes où T suit la loi uniforme sur [0 ; 20], elle fait alors immédiatement
demi-tour, rentre chez elle (à la même vitesse qu’à l’aller), elle prend ce qu’elle a oublié
(1 minute pour cela) et repart cette fois-ci en voiture pour aller plus vite. Elle arrive alors à l’université
10 minutes plus tard.
On note A l’événement : « Lucie s’aperçoit qu’elle a oublié quelque chose » et D la variable aléatoire
égale au temps mis par l’étudiante pour se rendre à l’université.
Considérons les jours où Lucie s’est aperçu qu’elle avait oublié quelque chose. La variable aléatoire
X représente la durée totale du trajet (en minutes).


1) a) Montrer que : X = 2T + 11.
b) Montrer que : P (a X b) = P((a-11)/2) ≤ T ≤ (b-11)/2)). En déduire que X suit une loi uniforme sur un
intervalle que l’on déterminera.

Ce matin, Lucie se rend à l’université.
2) a) Montrer que P (D = 20) = 0,8.
(on pourra écrire : P (D = 20) =P (A)×P (X = 20)+P (barre A)×Pbarre A (D = 20)).

b) La variable aléatoire D suit-elle une loi à densité (ou loi continue) ?
c) Déterminer P (D ≤ 30).

3) Un matin, Lucie s’est rendue à l’université en moins d’une demi-heure. Quelle est la probabilité
qu’elle ait dû faire demi-tour ce matin-là parce qu’elle avait oublié quelque chose ?

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