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Probabilité


Chazlol

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Bonjour, je suis pas très bon en probabilité auriez-vous la gentillesse de me corriger s'il vous plait ? merci d'avance  

 

Énoncé: 
Les 4 parties peuvent être traitées comme 4 exercices indépendants. 
Les résultats seront arrondis à 10^-3 près. 

Partie A 
Une tige, pour être utilisable, doit avoir une longueur comprise entre 59,8 mm et 60,2 mm. Une tige trop longue est rectifiable, elle peut être raccourcie. Une tige trop courte est défectueuse ; elle ne peut être ni utilisée, ni rectifiée. On note L la variable aléatoire qui, à chaque tige prélevée au hasard dans la production, associe sa longueur. On suppose que la variable aléatoire L suit la loi normale N (60;0,12). On prélève une tige au hasard dans la production. 

1 Calculer la probabilité que la tige soit utilisable. 
2 Calculer la probabilité que la tige soit rectifiable. 
3  Déterminer, sans utiliser la calculatrice, la probabilité que la tige soit défectueuse. Expliquer. 
4  Déterminer un nombre réel h tel que P(60 -h < L < 60+h)≈0,95 Expliquer 

Partie B 
Les tiges sont conditionnées par boîtes de 100. On note D l'événement «une tige prélevée au hasard dans la production est défectueuse ». On prendra P(D) = 0,05. = On considère la variable aléatoire X qui, à une boîte de 100 tiges, associe le nombre de tiges défectueuses qu'elle contient. 
1  Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale ; préciser ses paramètres. 
2  Calculer les probabilité P (X=4 ), P (X≤4 ) et P (X≥4 ). 
3  Pourquoi n'a-t-on pas P(X≤4)+P(X ≥ 4)=1? 
4  Calculer l'espérance mathématique E(X )de cette variable aléatoire et interpréter le résultat. 

Partie C 
On considère que la proportion de 5 % de tiges défectueuses est acceptable. 
1  Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence des tiges défectueuses dans un échantillon de taille 1000. Pour savoir si la machine est correctement réglée, on prélève au hasard un échantillon 1000 tiges dans lequel on dénombre 75 tiges défectueuses. 
2  Quelle est la fréquence des tiges défectueuses dans l'échantillon ? 3  Le réglage de la machine doit-il être modifié ? Justifier. 

Partie D 
La direction, voulant faire des économies, demande que la proportion de tiges défectueuses soit diminuée. Après avoir modifié les réglages, on prélève un nouvel échantillon de taille 1000 dans lequel on dénombre 40 tiges défectueuses. 
1  Déterminer un intervalle de confiance, au niveau 95 %, de la proportion de tiges défectueuses après cette modification. 
2  Peut-on considérer que la proportion de tiges défectueuses a baissé significativement ? Expliquer 

Mon travail: 

PartieA: 

1- Pour que la tige soit utilisable il se doit que sa longueur soit comprise entre 59,8mm et 60,2mm donc P(59,8<X<60,2)= 0,904 soit 90,4%. 
2- Afin d'être rectifiable la tige doit être trop longue donc P(60,2 > X )= 1 -P( 60,2 < X)  = 1- 0,829= 0,171 soit 17,1% 
3- Dans la mesure où la loi normale est symétrique par rapport à sa moyenne la probabilité que la tige soit défectueuses et identique à celle qui soit trop longue donc P( X < 59,8) = 0,171. 

4- P(60 -h < L < 60+h) = 0,95, h = 2o donc h = 2 *0,12 = 0,24 

PartieB: 
1- L'expérience consiste à sélectionner 100 tiges dans la production avec indépendance, il n'y a que deux issues possibles pour chaque tiges. Ainsi on peut en conclure que X suit une loi binomiale de paramètres: n = 100 et p = 0,05. 
2- P(X=4) = 0,178 
    P( X ≤ 4) = 0,436 
    P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 0,742   
3-  je sais pas du tout :/ 
4- L'espérance de cette variable aléatoire est égal à 100 * 0,5 = 5 ainsi on peut espérer trouver 5 tiges défectueuses. 


PartieC: 
1- [p-1/sqrt(n); p+1/sqrt(n)] =[0,05 - 1 / sqrt(1000); 0,05+1/sqrt(1000)] 
                      [0,05-0,032;0,05+0,032] = [0,018;0,082] 
2- La fréquence des tiges défectueuses dans l'échantillon est égal à 75 / 1000 = 0,075 
3- Dans la mesure où la proportion de tiges défectueuses ne doit pas dépasser 5% soit 50 tiges défectueuses il est nécessaire de modifier le réglage de la machine. 


PartieD: 
1-  Dans la mesure où la fréquence est égal à 40/1000= 0,040 après changement l'intervalle de confiance est égal à: 
  I = [f- 1/sqrt(n); f+1/sqrt(n); f+ 1/sqrt(n)] =[0,040 - 1 / sqrt(1000);0,040+1/sqrt(1000)] 
  [0,040 - 0,032;0,040+0,032] = [0,008; 0,072] 

2- Après modification la fréquence est égal à 40/1000 = 0,040 en comparaison avec la fréquence obtenu avant le réglage soit de 0,070 on peut en déduire que la proportion de tiges défectueuses a baissé significativement.

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  • E-Bahut

3 Pourquoi n'a-t-on pas P(X≤4)+P(X ≥ 4)=1? 

on a p(X<4)+p(X>=4)=1, ou p(X=4)+p(X>4)=1, avec la loi B(100;0,05), p(X=4) n'est pas nulle mais p(X=4)=0,178 à 10^(-3) près.

Je ne me suis occupé que que la question écrite en rouge sans vérifier le reste des tes réponses. En fouinant sur Internet tu peux trouver les réponses à cet exercice assez courant.

 

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