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Intégration


marionmmb

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Bonjour, j'ai l'exercice ci-dessous à faire, j'ai déjà réalisé la partie 1 mais la partie 2 me pose problème.

 

PARTIE 1

 

On considère la fonction u définie sur R par : u(x) =  √(x²+1) -x.

1) Déterminer lim u(x) avec x  -->  -∞.

2) a) Montrer que pour tout réel x, u(x) = 1/(√(x²+1) +x).

b) En déduire lim u(x) avec x -->  + .

3) Montrer que pour tout réel x, u(x)>0.

4) a) Montrer que la fonction dérivée u' de u est définie sur R par u'(x) = -(u(x))/√(x²+1).

b) Dresser alors le tableau de variation de u sur R.

 

PARTIE 2

 

On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = intégrale de 0 à x de (-1/√(t²+1))dt.

1) Déterminer la fonction dérivée f' de f. En déduire le sens de variation de f.

2) Montrer que, pour tout réel x, f(x) = ln [u(x)] (on pourra utiliser la question 4a de la partie 1)

3) En déduire lim f(x) avec x --> - et lim f(x) avec x --> + .

 

 

MES RÉPONSES A LA PARTIE 1

 

1) avec x --> -∞, lim u(x) = +

2) a) u(x) = √(x²+1) -x

u(x) = [(√(x²+1) -x)(√(x²+1) +x)] / [√(x²+1) +x]

u(x) = [x²+1-x²] / [√(x²+1) +x]

u(x) = 1/[√(x²+1) +x]

b) avec x --> +, lim u(x) = 0.

3) Pour que u(x)>0, il faut que √(x²+1) > x. Or x<√(x²) donc x est forcément inférieur à √(x²+1). Donc pour tout réel x, u(x) > 0.

4)a) u'(x) = [x/√(x²+1)] -1 = [x-√(x²+1)] / √(x²+1)

u'(x) = [-(-x+√(x²+1))] / √(x²+1)

u'(x) = -u(x) / √(x²+1)

b) u(x) est décroissante de - à 0.

 

Merci d'avance pour votre aide.

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