devoir logarithme et suites

[jeremyct]

Salut,

J'ai un dernier exercice que je ne comprend pas, j'ai réussi  à démontrer les deux premières questions mais je bloque sur tout le reste.

alors voilà mon sujet :

Partie I :

1- Montrer que pour tout u>-1, ln(1+u)u (*)
Ici, j'ai fais étude de la fonction f(x)= ln(1+x)-x et avec le tableau j'en déduis ce qu'il faut prouver.

2- Montrer que si x>-1 alors -x/(1+x) >-1

J'ai fais l'étude de la dérivée seconde car ce qu'on me donne c'est la dérivée de la fonction définie en 1, qui m'a donné ce qu'il faut prouver.

3- En appliquant l'inégalité (*) à u= -x/(1+x), montrer que pour tout x>-1, ln(1+x)x/(x+1) (**)

4- Déduire des inégalités (*) et (**) que pour tout entier naturel k non nul, 1/(k+1)ln(k+1)-ln(k)1/k

Partie II :

Soit (Un) définie pour tout entier naturel n non nul par Un=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n=1/(n+k)

1- En appliquant l'inégalité de la partie 1 à k=n+1, ...,n+(n-1),2n, montrer que :
Un+1/(2n+1)-1/(n+1)ln(2n+1)-ln(n+1)Un

2- En déduire que pour tout entier naturel n : ln((2n+1)/(n+1))Unln((2n+1)/(n+1))+ n/((n+1)(2n+1))

3- En déduire limite de Un lorsque n tend vers + infini.

Partie III :

On admet que la suite (Un)est croissante.

1- Justifier l'existence d'un rang n0 à partir duquel : ln(2)-0.01<Un<ln(2)

2- On cherche le plus petit entier naturel n0 tel que pour tout nn0, ln(2)-0.01<Un<ln(2).

a) Pourquoi suffit-il de chercher le plus petit entier n tel que, ln(2)-0.01<Un<ln(2)?

b)On a implémenté l'algorithme suivant :

Variables
N est du type nombre
U est du type nombre
I est du type nombre

Début Algo :

  N prend la valeur 1
  U prend la valeur 0.5
   Tant que "..." faire (1)
    Début tant que
    N prend la valeur N+1
    U prend la valeur 0
    Pour I allant de 1 à N
     Début pour
     U prend la valeur "..." (2)
     Fin pour
    Fin tant que
Afficher N
Afficher U
Fin algorithme

Compléter les deux instructions incomplètes :
(1) la condition de l'arrêt de la boucle "Tant que"
(2) la formule permettant de définir la somme correspondant à (Un).

Voilà tout le sujet.

 

Merci

[Barbidoux]

Partie 1

1-------------
soit la jonction f(u)=u-ln(u+1) définie sur ]-1 ∞[
sa dérivée f'(u)=1-1/(u+1) est positive sur l'intervalle de définition de la fonction et la fonction f(u) est croissante. Comme f(0)=0 on en déduit que f(u) ≥0 sur son intervalle de définition ce qui signifie que u-ln(u+1)≥ 0 ==> ln(u+1) ≤ u pour tout u>-1
2-------------
on pose u=x avec x>-1
0>-1
-x≥-x
-x≥-x-1 ==> -x≥-(x+1)
x>-1 ==> 1+x >0 et -x/(1+x)≥-1
3-------------
on pose u=-x/(x+1)
u-ln(u+1)≥0 ==> -x/(x+1)-ln(-x/(x+1)+1)≥0 ==> -ln(1/(x+1))≥x/(x+1) ==> ln(x+1)≥x/(x+1)
4-------------
ln(u+1) ≤ u
on pose u=1/k ==> ln(1/k+1) ≤ 1/k ==> ln((1+k)/k) ≤ 1/k ==> ln(1+k) - ln(k)≤ 1/k
---------
x/(x+1)≤ ln(x+1)
on pose x=1/k ==> (1/k)/(1/k+1)≤ ln(1/k+1) ==>1/(k+1) ≤ ln((k+1)/k)  ==>1/(k+1) ≤ ln(k+1)-ln(k)
et finalement :
1/(k+1) ≤ ln(k+1)-ln(k) ≤ 1/k
-------------------
Partie 2
1-------------
un= 1/(n+1)+1/(n+2)+……….+1/(2*n)
---------
si l'on remplace k par n+1 puis n+1, n+2,…..2*n dans la relation :
1/(k+1) ≤ ln(k+1)-ln(k) ≤ 1/k
on obtient :
1/(n+2) ≤ ln(n+2)-ln(n+1) ≤ 1/(n+1)
1/(n+3) ≤ ln(n+3)-ln(n+2) ≤ 1/(n+2)
………….
1/(2*n+1) ≤ ln(2*n+1)-ln(2*n) ≤ 1/(2*n)
en faisant la somme de ces expressions membre à membre on obtient
1/(n+2) +1/(n+3)+…………. 1/(2*n+1) ≤ln(2*n+1)-ln(n+1)≤ 1/(n+1) +1/(n+2)+…………. 1/(2*n)
un+1/(2*n+1)-1/(n+1)≤ln(2*n+1)-ln(n+1)≤ un
2-------------
un-n/((2*n+1)*(n+1))≤ln((2*n+1)/(n+1))≤ un
dont on déduit :
ln((2*n+1)/(n+1))≤ un≤ln((2*n+1)/(n+1))+n/((2*n+1)*(n+1))
3-------------
Lorsque n->∞ alors :
lim n/((2*n+1)*(n+1))=lim n/(2*n^2)->0
lim ln((2*n+1)/(n+1)) =lim ln(2*n/n) =ln(2) et un -> ln(2)
-------------------

Partie 3
1-------------
La limite de un étant ln(2) la suite étant croissante elle tend vers cette valeur lorsque n->∞ et il existe un rang n tel que ln(2)-0.01≤un≤ln(2)
2a-------------
La suite un étant croissante, si le plus petit entier naturels n0 satisfait la relation  ln(2)-0.01≤un≤ln(2) alors tous les entiers tels que n>n0 la satisferont.
2b-------------