Exercice Fonction Logarithme et exponentielle

[jeremyct]

Bonjour,
J'ai un exercice que je ne parviens pas à resoudre. Je me dis il faut mettre e^x en facteur mais après je n'y arrive pas.Notre prof nous a fais le cours en 4h puis sa y est travail noté mais je ne comprend pas bien les exercices.

Pourriez vous m'aidez ?

Merci

Exercice :
Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ; i , j ).
Soit f définie sur R par f (x )=ln(e^x +1)−x et C sa courbe représentative.

1. Montrer que pour tout réel x, f (x )=ln(1+ e^-x). En déduire lim f (x ).
Quand x →+infini. Interpréter graphiquement.

2. Montrer que lim [f (x )+x] =0 quand x tend vers -infini. On dit que la droite D d'équation y = −x est asymptote à C en -infini.
3. Étudier les positions relatives de D et C.

4. Soit A le point de C d'abscisse 0 et delta la tangente à C en A.

a) Déterminer l'équation réduite de delta.
On note B (resp. C) l'intersection de delta avec l'axe des abscisses (resp. la droite D
b) Déterminer les coordonnées de B et de C.
c) Montrer que A est le milieu de [BC].

 

[Barbidoux]

1-------------
f(x)=ln(exp(x)+1)-x=ln(exp(x)+1)+ln(exp(-x))=ln((exp(x)+1)*(exp(-x))=ln(1+exp(-x))
Lorsque x->∞ alors  exp(-x) -> 0 et f(x) -> ln(1)= 0. Le graphe de f(x) admet une asymptote horizontale d'équation y=0
2-------------
Lorsque x->-∞  exp(x) -> 0 et lim f(x) =lim ln(1)-x=- x -> ∞. Le graphe de f(x) admet la droite y=x comme  asymptote.
3-------------
f(x)-x=ln(exp(x)+1). Lorsque x-> ∞ alors f(x)-x -> 0^(+) et le graphe de f(x) tend vers son asymptote par valeurs supérieures
4a-------------
équation réduite de ∆
y=f'(0)*x+f(0)
f'(x)=-exp(x)/(1+exp(x))
f'(0)=-1/2
f(0)=ln(2)
y=-x/2+ln(2)
4b-------------
B{2*ln(2), 0} et A {0,ln(2)}
C est l'intersection de D et ∆ . Ses coordonnées sont solution de :
y=-x
y=-x/2+ln(2) ==> x =-2*ln(2) et y = 2*ln(2) ==> C{-2*ln(2),2*ln(2)}
4c-------------
Le milieu de BC à pour coordonnées {0,ln{2)} c'est le point A