Exercie Fonction Logarithme néperien

[jeremyct]

Bonjour,

je suis au CNED et j'ai un exercice que je n'arrive pas du tout à résoudre.

J'ai juste réussi l'étude de la fonction afin de prouver que la fonction est croissante et compléter le tableau mais je n'arrive pas à la suite. J'aimerais bien de l'aide s'il vous plait.

Merci

Exercice

Soit f la fonction définie sur [0 ;+infini [ par f(x)= 1/2ln( x^3 +1).

1.     Montrer que f est croissante sur [0 ;+∞ [. Dresser le tableau de variations de f sur [0 ; 1[

On considère la suite (un) définie par u0 =1 et pour tout n de N, un+1=f (un ).

 

2. a) Démontrer que pour tout n de N, 0 ≤un+1≤un ≤1.

b) En déduire la convergence de la suite (un ).

 

3. On considère la fonction g définie sur [0 ; 1] par g (x )= x −f (x ).

a)     On a effectué les calculs suivants à l’aide d’un logiciel de calcul formel.

A quels calculs correspondent les 4e et 5e lignes de cette feuille de calcul ?

b) À partir de ces calculs, déterminer le sens de variation de la fonction g ’ sur [0 ; 1].

c) En déduire le signe de g ’ sur [0 ; 1] puis le sens de variation de g sur [0 ; 1].

d) Montrer que l’équation g (x) = 0 admet une unique solution dans [0 ; 1] que l’on précisera.

4. En déduire que lim un =0. Quand n tend vers +infini

 

[Barbidoux]

1-------------
f(x)=ln(x^3+1)/2
f'(x)=3*x^2/(2*(x^3+1)) > sur [0,1]  donc fonction croissante sur cet intervalle
x………0………………….1
f(x)……0……..crois………ln(2)
2a-------------
u0=1≥0
u1=0.347 ≥0
u2=0.0204 ≥0
……..
on suppose un≥0
un+1=ln(un^3+1)/2
comme un>0 ==>un^3+1==> ln(un^3+1)/2 >0
la proposition étant héréditaire est vérifiée pour toute valeur de n
----------------
u0=1
u1=0.347 ≤u0
u2=0.0204 ≤u1
……..
on suppose un≤u_n-1
u_n+1=ln(un^3+1)/2
u_n+1-un=ln(un^3+1)/2-ln(un-1^3+1)/2=ln((un^3+1)/un-1^3+1))
comme 0≤un≤un-1 ==> 0≤un^3≤un-1^3 ==> 0≤un^3+1≤un-1^3+1
==> (un^3+1)/un-1^3+1)≤1 ==> ln((un^3+1)/un-1^3+1))≤0
==> u_n+1-un≤0 n
la proposition étant héréditaire est vérifiée pour toute valeur de n et la suite un est décroissante
----------------
2b-------------
La suite un étant bornée et décroissante est convergente et tend vers sa borne inférieure et lorsque n -> ∞ alors un ->0.

3a-------------
g(x)=x-f(x)
--------
La quatrième ligne de la feuille calcul correspond au calcul formel de la dérivée seconde g''(x) de la fonction g(x)=x-ln(x^3+1)/2.
La cinquième ligne de la feuille calcul correspond au calcul de la valeur du nombre dérivé g'(1).
3b-------------
g''(x)=3*(x^3-2)/(2*(x^3+1)^2)
sur l'intervalle [0,1 ] g''(x)<0 ce qui signifie que g'(x) est décroissante sur cet intervalle
g'(x)=1-3*x^2/(2*(x^3+1))
g'(0)=1 et g'(1)=1/4 et g'(x)<0 font que g'(x) est >0 sur l'intervalle [0,1] et donc g(x) est croissante sur cet intervalle.
--------
g(0)=0 et g(1)= 1-ln(2)/2>0
Le graphe de g(x) coupe donc l'axes des x qu'en une valeur unique dont l'abscisse est égale à 0 et qui est solution de g(x)=0 sur l'intervalle [0,1]
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Lorsque n-> ∞ alors f(un) -> un+1 ==> lim u_n+1=lim un=lim f(un) et comme lim g(un)=lim (un-f(un)) ->0 on en déduit que > un->0 lorsque n->∞

[jeremyct]

Merci beaucoup

[jeremyct]

Par contre, je ne comprend pas vraiment pour la limite en dernière question la justification.