Mathématiques Terminale

[Stark02]

[Barbidoux]

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Partie 1
1-------------
soit la jonction f(u)=u-ln(u+1) définie sur ]-1 ∞[
sa dérivée f'(u)=1-1/(u+1) est positive sur l'intervalle de définition de la fonction et la fonction f(u) est croissante. Comme f(0)=0 on en déduit que f(u) ≥0 sur son intervalle de définition ce qui signifie que u-ln(u+1)≥ 0 ==> ln(u+1) ≤ u pour tout u>-1
2-------------
on pose u=x avec x>-1
0>-1
-x≥-x
-x≥-x-1 ==> -x≥-(x+1)
x>-1 ==> 1+x >0 et -x/(1+x)≥-1
3-------------
on pose u=-x/(x+1)
u-ln(u+1)≥0 ==> -x/(x+1)-ln(-x/(x+1)+1)≥0 ==> -ln(1/(x+1))≥x/(x+1) ==> ln(x+1)≥x/(x+1)
4-------------
ln(u+1) ≤ u
on pose u=1/k ==> ln(1/k+1) ≤ 1/k ==> ln((1+k)/k) ≤ 1/k ==> ln(1+k) - ln(k)≤ 1/k
---------
x/(x+1)≤ ln(x+1)
on pose x=1/k ==> (1/k)/(1/k+1)≤ ln(1/k+1) ==>1/(k+1) ≤ ln((k+1)/k)  ==>1/(k+1) ≤ ln(k+1)-ln(k)
et finalement :
1/(k+1) ≤ ln(k+1)-ln(k) ≤ 1/k
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Partie 2
1-------------
un= 1/(n+1)+1/(n+2)+……….+1/(2*n)
---------
si l'on remplace k par n+1 puis n+1, n+2,…..2*n dans la relation :
1/(k+1) ≤ ln(k+1)-ln(k) ≤ 1/k
on obtient :
1/(n+2) ≤ ln(n+2)-ln(n+1) ≤ 1/(n+1)
1/(n+3) ≤ ln(n+3)-ln(n+2) ≤ 1/(n+2)
………….
1/(2*n+1) ≤ ln(2*n+1)-ln(2*n) ≤ 1/(2*n)
en faisant la somme de ces expressions membre à membre on obtient
1/(n+2) +1/(n+3)+…………. 1/(2*n+1) ≤ln(2*n+1)-ln(n+1)≤ 1/(n+1) +1/(n+2)+…………. 1/(2*n)
un+1/(2*n+1)-1/(n+1)≤ln(2*n+1)-ln(n+1)≤ un
2-------------
un-n/((2*n+1)*(n+1))≤ln((2*n+1)/(n+1))≤ un
dont on déduit :
ln((2*n+1)/(n+1))≤ un≤ln((2*n+1)/(n+1))+n/((2*n+1)*(n+1))
3-------------
Lorsque n->∞ alors :
lim n/((2*n+1)*(n+1))=lim n/(2*n^2)->0
lim ln((2*n+1)/(n+1)) =lim ln(2*n/n) =ln(2) et un -> ln(2)
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Partie 3
1-------------
La limite de un étant ln(2) la suite étant croissante elle tend vers cette valeur lorsque n->∞ et il existe un rang n tel que ln(2)-0.01≤un≤ln(2)
2a-------------
La suite un étant croissante, si le plus petit entier naturels n0 satisfait la relation  ln(2)-0.01≤un≤ln(2) alors tous les entiers tels que n>n0 la satisfera.
2b-------------