Suites et limites

[Tom567]

pourriez-vous m'aider s'il vous plait ?

[Barbidoux]

Ce sujet devrait être posté dans le forum "Mathématiques"

1-------------
f(x)=ln(x^3+1)/2
f'(x)=3*x^2/(2*(x^3+1)) > sur [0,1]  donc fonction croissante sur cet intervalle
x………0………………….1
f(x)……0……..crois………ln(2)
2a-------------
u0=1≥0
u1=0.347 ≥0
u2=0.0204 ≥0
……..
on suppose un≥0
u_n+1=ln(un^3+1)/2
comme un>0 ==>un^3+1==> ln(un^3+1)/2 >0
la proposition étant héréditaire est vérifiée pour toute valeur de n
----------------
u0=1
u1=0.347 ≤u0
u2=0.0204 ≤u1
……..
on suppose un≤un-1
u_n+1=ln(un^3+1)/2
u_n+1-un=ln(un^3+1)/2-ln(un-1^3+1)/2=ln((un^3+1)/un-1^3+1))
comme 0≤un≤un-1 ==> 0≤un^3≤un-1^3 ==> 0≤un^3+1≤un-1^3+1
==> (un^3+1)/un-1^3+1)≤1 ==> ln((un^3+1)/un-1^3+1))≤0
==> un+1-un≤0 n
la proposition étant héréditaire est vérifiée pour toute valeur de n et la suite un est décroissante
----------------
2b-------------
La suite un étant bornée et décroissante est convergente et tend vers sa borne inférieure et lorsque n -> ∞ alors un ->0.

3a-------------
g(x)=x-f(x)
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La quatrième ligne de la feuille calcul correspond au calcul formel de la dérivée seconde g''(x) de la fonction g(x)=x-ln(x^3+1)/2.
La cinquième ligne de la feuille calcul correspond au calcul de la valeur du nombre dérivé g'(1).
3b-------------
g''(x)=3*(x^3-2)/(2*(x^3+1)^2)
sur l'intervalle [0,1 ] g''(x)<0 ce qui signifie que g'(x) est décroissante sur cet intervalle
g'(x)=1-3*x^2/(2*(x^3+1))
g'(0)=1 et g'(1)=1/4 et g'(x)<0 font que g'(x) est >0 sur l'intervalle [0,1] et donc g(x) est croissante sur cet intervalle.
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g(0)=0 et g(1)= 1-ln(2)/2>0
Le graphe de g(x) coupe donc l'axes des x qu'en une valeur unique dont l'abscisse est égale à 0 et qui est solution de g(x)=0 sur l'intervalle [0,1]
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Lorsque n-> ∞ alors f(un) -> un+1 ==> lim un+1=lim un=lim f(un) et comme lim g(un)=lim (un-f(un)) ->0 on en déduit que > un->0 lorsque n->∞