Exercice sur les Suites.

[Kimmie]

Bonjour, je n'arrive pas à faire trois questions de cet exercice alors si quelqu'un veut bien m'aider, merci ! 

Les suites (u_n) ; (v_n) et (w_n) sont définies pour tout entier naturel n, par :

u_n = 1 - 3n ; v₀ = 4/9 et v_n+1 = (3v_n)/2 ; w_n = (n²) /(2ⁿ) 

1. Compléter le tableau suivant  : 

n	0	1	2	3	4
un	1	-2	-5	-8	-11
vn	0	3/2	3	9/2	6
wn	0	1/2	1	1,125	1

 

2. Démontrer que la suite (u_n) est strictement décroissante. 

->  u_n+1 - u_n = 1 - 3 (n+1) - [1 - 3n] = 1 - 3n - 3 - 1 - 3n = -3 

Donc pour tout n  ∈ N , u_n+1 - u_n < 0 <=> u_n+1 < u_n

Donc la suite (1 - 3n) _n ∈ N  est strictement décroissante. 

3. Démontrer que la suite (v_n) est strictement croissante. 

-> Je n'y arrive pas. 

4. On veut démontrer que la suite (w_n) est décroissante à partir du rang 3. 

(a) Etudier le signe de f(x) = -x² + 2x + 1 sur [0; +   [ 

-> La fonction f est positive de [0 ; -1+  √2[ et négative de ] -1 + √2 ; +  [ 

(b) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : w_n+1 - w_n = (-n² + 2n +1)/(2ⁿ⁺¹)

(c) En déduire que si n  3 alors w_n+1 w_n et conclure. 

 

Merci d'avance ! 

 

[Barbidoux]

3. Démontrer que la suite (vn) est strictement croissante. 

V_n+1/v_n=3/2  suite géométrique de premier terme >0 et de raison >1 donc croissante

(b) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : w_n+1-w_n=(-n²+2*n+1)/2ⁿ⁺¹

w_n+1-w_n=(n+1)²/2ⁿ⁺¹-n^2/2ⁿ=((n+1)²-2*n²)/2ⁿ⁺¹=(-n²+2*n+1)/2ⁿ⁺¹

 

 

[Kimmie]

Merci !