Devoir Maison 9/ Correction

[NoctisX55]

Bonsoir,
Je souhaiterais que quelqu'un puisse me corriger une partie de mon DM de math, s'il vous plaît. Je remercie d'avance ceux ou celles qui prendront le temps de m'aider.

Énonce:
Partie A/
Soit g la fonction sur par: g(x)=e^x+x+1

1. Étudier les variations de g sur , ainsi que ses limites en +00 et -00.
2. Démontrer que l'équation g(x)=0 admet une solution unique sur . Donner un encadrement de d'amplitude 10^-2.
3. En déduire le signe de g(x) sur .

Partie B/

Soit f la fonction définie sur par f(x)=xe^x/e^x+1 et C sa courbe représentative dans le repère orthogonal du plan d'unité 1cm sur l'axe des abscisses et 2 cm sur l'axe des ordonnées.

1. Montrer que f'(x)=e^xg(x)/(e^x+1)²
    En déduire les variations de f sur .

2. Montrer que f()=+1. En déduire un encadrement de f() d'amplitude 10^-2.

3. Déterminez une équation de la tangente T à C au point d'abscisse 0.

4. Déterminer la limite de f en -00. Interprétez géométriquement ce résultat.

5.a) Déterminez la limite de f en +00.

b) Construire la courbe C et la tangente T.
 

Réponses:

1. g'(x)=u'e^u+1=e^x+1 > 0 , car e^x>0 et 1>0.

Limite en +00
Lim e^x=+00
x+00
Lim x+1=+00
x+00
Par somme: Lim g(x)=+00
                            x+00

Limite en -00
Limite en -00
Lim e^x=0
x-00
Lim x+1=-00
x-00
Par somme: Lim g(x)=-00
                            x-00

2. La fonction g est définie, continue et strictement croissante sur
Lim g(x)=-00 <0
x-00
Lim g(x)=+00 >0
x+00
Donc d'après le corolaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation g(x)=0 admet une solution, notée , sur .
On obtient à la calculatrice:
-1.28

3. On sait que:
Lim g(x)=-00
x-00
Lim g(x)=+00  
x+00
g()=0
Donc:

Partie B/

1.  f est de la forme U/V, donc on doit utiliser la formule (U'V-V'U)/V².
U= xe^x    U'=e^x
V=e^x+1   V'=e^x

f'=e^x(e^x+1)-(xe^x*e^x)]/(e^x+1)²
   =(e^x)²+e^x-x(e^x)²/(e^x+1)²

Ici je n'arrive pas à factoriser l'expression avec e^x+x+1 ... je pense que c'est à cause de ma méthode de dérivation (pas encore vu en classe), puisque lorsque je vérifie sur un site de calcul de dérivés, j'obtiens (e^x)²+e^x+xe^x/(e^x+1)².

2.  g()=e++1
      0=e++1
      e=--1

Donc f()=e/e+1 = *(--1)/1--1=-(--1)=+1

3. T0: y=f'(0)(x-0)+f(0)

f(0)=0*e⁰/e⁰+1=0
f'(0)=(e⁰)²+e⁰+0*e⁰/(e⁰+1)²=1+1/(1+1)²=2/4=1/2 car e⁰=1.

T0: y=1/2(x-0)+0=x/2

4.  Limite en -00

Lim x=-00
x-00
Lim e^x=0
x-00
Par produit:
Lim x*e^x=0
x-00


Lim e^x+1=1
x-00
Lim x*e^x=0
x-00
Par quotient:
Lim f(x)=0
x-00

5.a) f(x)=xe^x/e^x+1=e^x(x)/[e^x(1+(1/e^x))] = x/(1+(1/e^x))

Limite en +00
Lim x=+00
x+00
Lim 1+(1/e^x)=1 car Lim(1/e^x)=0
x+00                 x+00

Par quotient:
Limite f(x)=+00
x+00

b)
 

 

Sur ce je vous souhaite une bonne soirée et une bonne année!

[pzorba75]

Pour la dérivée où tu butes :

f(x)=x*e^x/(e^x+1)

f'(x)=[(e^x+xe^x)*(e^x+1)-xe^x*e^x]/(e^x+1)^2=[e^x(1+x)(e^x+1)-xe^x]/(e^x+1)^2=e^x[(1+x)(e^x+1)-x]/(e^x+1)^2=e^x*(e^x+x+1)/(e^x+1)^2=e^x*g(x)/(e^x+1)^2 CQFD

[NoctisX55]

Bonjour,

tout d'abord je tiens à vous remercier de votre aide. Grâce à votre conseil, j'ai bien réussi à faire la dérivée, néanmoins je n'arrive pas à en déduire les variations de f... si ça ne serait pas trop demandé, pourriez-vous m'aider une nouvelle fois s'il vous plaît ?

[pzorba75]

 si ça ne serait pas trop demandé  = si ce n'était pas trop demander, le français est aussi à respecter quand on fait des mathématiques.

[NoctisX55]

Bonjour,

vous avez tout à fait raison. Il faudra que je perfectionne mon français :D.