géométrie dans l'espace

[bouchoir]

bonjour,

pouvez-vous m'aider svp pour ce dm de math car je ne comprends pas cet exercice

 je serais ravi que l'on puisse me l'expliquer 

merci je joins le dm

161p262.docx

[Barbidoux]

Par définition :

I, J K sont respectivement les milieux de CD, BC, BD

Dans un triangle équilatéral la médiane issue d'un sommet est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

AK est perpendiculaire à BD, CK est perpendiculaire à BD On en déduit que BD est perpendiculaire au plan ACK donc à toute droite de ce plan et en particulier la droite AA'. De même

AJ est perpendiculaire à BC, DJ est perpendiculaire à BC. On en déduit que BC est perpendiculaire au plan AJD donc à toute droite de ce plan et en particulier la droite AA'.

La doits AA' étant perpendiculaire à BD et BC l'est au plan BCD. La médiane AA' issue de A est perpendiculaire au plan BCD en A'.

On démontrerait de même que  la médiane BB' issue de B est perpendiculaire au plan ACD en B' et que la médiane CC' issue de C est perpendiculaire au plan ABD en C', ce qui démontre que dans un tétraèdre régulier une médiane qui joint un sommet au centre de gravité de la face opposée est perpendiculaire à ce plan. 

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Relation vectorielles

u=BA'+CA'+DA'=BA'+(CI+IA')+(DI+IA')

I est le milieu de CD ==> DI+CI=0 ==> u=BA'+2*IA' 

les vecteurs BA' et IA' étant colinéaires à BI, u l'est aussi

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On démontrerait de même que

u=DA'+2*J'A'

J est le milieu de BC ==> BJ+CJ=0 ==> u=DA'+2*JA' 

les vecteurs DA' et JA' étant colinéaires à DI, u l'est aussi

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 u=BA'+2*IA' 

Dans un triangle le centre de gravité étant situé au 2/3 d'une médiane en partant du sommet il s'en suit que BA'=(2/3)*BI et que A'I=BI/3 ==> u=BA'+2*IA' =0

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Par définition

AG=AB/4+AC/4+AD/4=AA'/4+A'B/4+AA'/4+A'C/4+AA'/4+A'D/4=3*AA'/4-u/4=3*AA'/4

G appartient à AA' et est situé au 3/4 de AA' en partant du sommet.

On démontrerait de même à partir de la relation :

AB+BG= AB/4+AB/4+BC/4+AB/4+BD/4=3*AB/4+BC/4+BD/4

BG= BAB/4+BC/4+BD/4

que G appartient à BB' et est situé au 3/4 de BB' en partant du sommet.

On démontrerait de même aussi que que G appartient à CC' et est situé au 3/4 de CC' en partant du sommet, autrement dit que G est le point de concours des médianes du tétraèdre. C'est son centre de gravité.