Pour Noël

[lolo2207]

Pour noël, Jeanne prépare un sac de bonbons qui contient 10 bonbons au réglisse et 30 bonbons aux fruits. A chaque fois qu'une personne prend un bonbon dans le sac, Jeanne rajoute un bonbons au réglisse dans le sac. 

A partir de combien de prélèvements la probabilité de tomber sur une friandise au réglisse devient-elle supérieur à 0.3 ?

 

Merci d'avance

[Barbidoux]

p_n est la probabilité de tirer du sac un bombon à la réglisse au tirage de rang n. Sachant qu'après tirage d'un bonbon on rajoute un bonbon à la régisse, on en déduit l'arbre de probabilité qui permet de passer de la probabilité de rang n à celle de rang n+1

de qui conduit à la relation de récurrence suivante. 

p_n+1=p_n^2+(1-p_n)*(p_n+1/40)=(1+39*p_n)/40

p_n est une suite arithmético-géométrique de premier terme p₀=10/40

en posant v_n=u_n-1 on démontre que v_n est une suite géométrique de raison 39/40 de premier terme  v₁=-1170/1600 et que donc les termes de p_n s'expriment en fonction de n selon :

p_n= 1-(1170/1600)*(39/40)^n-1 

La résolution de p_n≥0.3 conduit à n=3. Autrement dit au troisième tirage, la probabilité d'obtenir un bonbon à la régisse devient supérieure à 30%.