Devoir maison urgent svp

[Omaima]

ABC est un triangle rectangle isocèle en A tel que AB=6 cm. Pour tout point N de [AB], la parallèle à (AC) passant par N coupe [BC] en M et la parallèle à (AB) passant par M coupe [AC] en P.
On se demande où placer N sur [AB] pour que l'aire de ANMP soit le quart de celle du triangle ABC.
Questions :
1) Soit x la longueur AN en cm et f(x) l'aire de ANMP en cm^2.
a) à quel intervalle appartient x ? 
b) déterminer PN et NM en fonction de x.
c)En déduire que f(x)=x(6-x).
3a) conjecturer le nombre d'antécédents de 9/2 par la fonction f et en donner des valeurs approcher(expliquez votre démarche) 
b) calculer f(3moins 3racine carré de 2 sur 2) et f(3plus 3racine carré de 2 sur 2). Que peut on en conclure par rapport au problème poser ?

[Barbidoux]

Thalès ==> BN/BA=NM/AC ==> (6-x)/6=NM/6 ==> NM=6-x

ANMP est un rectangle

S(x)=AN*NM=x*(6-x)=6*x-x^2

S(x)=S(ABC)/4 ==>S(X)=AB*AC/2=9/2 ==> 6*x-x^2=9/2 ==> x^2-6*x+9/2=0 ==>(x-3)^2-9+9/2=0 ==> (x-3)^2-9/2=0 ==> (x-3-3/√2)*(x-3+3/√2)=0 ==> deux solutions x=3-3/√2 et x=3+3/√2

 

[Hiphigenie]

Bonjour Omaima,

Questions :

1) Soit x la longueur AN en cm et f(x) l'aire de ANMP en cm^2.
a) à quel intervalle appartient x ? 

x € [0 ; 6]

b) déterminer PM et NM en fonction de x.

Le quadrilatère ANMP est un rectangle car ses côtés opposés sont parallèles et l'angle PAN est un angle droit.

==> PM = AN

==> PM = x.

Les triangles CAB et MNB sont semblables car leurs côtés sont parallèles deux à deux.

Le triangle CAB est isocèle en A ==> le triangle MNB est isocèle en N 

D'où MN = NB

D'où MN = AB - AN

D'où MN = 6 - x

c) En déduire que f(x)=x(6-x).

f(x) = aire du rectangle ANMP

f(x) = PM * MN

f(x) = x(6 - x)

3a) conjecturer le nombre d'antécédents de 9/2 par la fonction f et en donner des valeurs approcher(expliquez votre démarche) 

A l'aide de Geogebra, on a tracé la courbe représentative de la fonction f.

Nous avons tracé la droite d'équation y = 9/2 (soit y = 4,5).

Les antécédents de 9/2 par f sont les abscisses des points d'intersection de cette droite avec la courbe de f.

Les antécédents de 9/2 par la fonction f sont donc approximativement 0,88 et 5,12.

b) calculer f(3moins 3racine carré de 2 sur 2) et f(3plus 3racine carré de 2 sur 2). Que peut on en conclure par rapport au problème poser ?

Nous montrerions de même que 

Or l'aire du triangle ABC = (1/2) * 6 * 6 = 18

Le quart de l'aire du triangle ABC = 18/4 = 9/2.

Nous pouvons donc dire que l'aire du quadrilatère ANMP sera la quart de l'aire du triangle ABC si AN = 3 - (3V2)/2 ou si AN = 3 + (3V2)/2