équation 1ère S

[lolitamath]

Bonjour , alors voilà j'ai un devoir maison pour mercredi , je dois résoudre racine carrée (-X²+2X+9)-X=1 , j'ai déjà essayer quelque chose par rapport à ce que nous avions fait en classe mais je bloque sur la partie où il faut donner les intervalles pour qui X+1 a ou n'a pas de solution je voudrai donc s'il vous plait qu'on m'explique cette partie merci d'avance 

[Barbidoux]

√(-x^2+2*x+9)-x=1 ==> √(-x^2+2*x+9)=x+1==> (-x^2+2*x+9)=(x+1)^2 ==> x^2=4 ==> x=-2 et x=2 mais x=-2 ne convient pas car √(-x^2+2*x+9) ne peut être<0. Donc une seule solution x=2.

[lolitamath]

Bonjour merci de m'avoir répondu , oui je comprends je l'ai mis ça dans la feuille que j'ai mis ci-joint (avec la méthode exacte vu en classe)mais j'aurai aimé avoir un peu plus de précision sur l'intervalle en faite   vu que j'avais pas compris la partie où y faut dire si (dans ce cas-là) X+1 a des solutions ou pas selon l'intervalle (en cours ) je voulais qu'on m'explique par la même occasion merci

[Barbidoux]

Lors de la résolution de ce genre d'équation on peut dans un premier temps examiner son domaine d'existence. Il y a deux contraintes. Le polynôme engagé sous la racine doit être positif ce qui fait que x doit appartenir à [ 1-√10 et 1+√10] et la racine de ce polynôme qui vaut x+1 doit être positive qui fait que x doit appartenir à [-1 , ∞[ , la solution de l'équation doit donc appartenir à l'intersection deux  domaines soit [-1, 1+√10] ce qui permet de rejeter la solution x=-2. 

Une autre manière de procéder (plus rapide mais moins rigoureuse ) est de déterminer les solutions de l'équation et de vérifier à postériori qu'elles conviennent bien ... 

[lolitamath]

je comprends pas à partir de " la solution de l'équation doit donc appartenir à l'intersection deux  domaines soit [-1, 1+√10] ce qui permet de rejeter la solution x=-2. "

[Barbidoux]

Par définition la racine carrée d’un nombre réel positif  est le nombre positif qui multiplié par lui-même, redonne ce nombre. L'opérateur racine carrée √ ne concerne que les nombres positifs. Donc par définition  
√(-x^2+2*x+9) ==> (-x^2+2*x+9) ≥0
le polynôme -x^2+2*x+9 admet deux racines x=1-√10 et x=1+√10 et est du signe du coefficient de x^2 à l'extérieur de ses racines donc 
(-x^2+2*x+9)≥0  pour toute valeur de x appartenant à [1-√10, 1+√10]
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Il faut ensuite que √(-x^2+2*x+9) ≥0 et comme  √(-x^2+2*x+9) =x+1 on en déduit que x+1≥0 ==> x≥-1. Cette double contrainte n'est respectée que pour les valeurs de x appartenant à l'intervalle  [-1, 1+√10] ce qui est le domaine d'existence de l'équation 
√(-x^2+2*x+9) =x+1 
dans lequel il faut rechercher ses solutions. 

[lolitamath]

donc ce que j'ai fais c'est juste ? dsl mais  je comprends pas en faite ce que vous êtes en train de me dire et le lien avec ma question du début 

[Barbidoux]

[lolitamath]

merci bcp