DM noté

[lucile_23]

Bonsoir,

J'ai un DM à rendre et je n'arrive pas à résoudre la question d) e) !!!   Aidez moi SVP

 

Les petites cavités d'une barrière de corail peuvent être habitées soit par un oursin, soit par une jeune murène. Dans le modèle envisagé ici, on suppose que 3% des oursins meurent chaque mois et 10% des murènes devenues trop grandes quittent la barrière de corail. De plus, 70% des cavités laissées vacantes sont prises par un nouvel oursin. Au mois de janvier, on estime que les petites cavités de cette barrière de corail sont équitablement habitées par des oursins et des jeunes murènes. On suppose que toutes les cavités restent occupées. On se propose de savoir  si l'une des espèces va proliférer au dépend de l'autre.
1- N désigne un nombre entier naturel non nul. On note Sn(resp mn) la proportions d'oursins (resp murènes) dans les cavités le nième mois.
a) Déterminer S1 et m1 puis calculer S2 et m2.
b) Justifier pour tout nmodifier : sn+1=(0,97+0,7*0,03)sn+0,7*0,1mn
c) Ecrire mn+1 en fonction de snet mn
d) En déduire que pour tout n : (sn+1  mn+1)=(sn  mn)A avec une matrice carrée A que l'on précisera.
e) Démontrer par récurrence que pour tout n, (sn   m)=(s1   m1)An-1
2- On estime qu'il y a prolifération d'une espèce lorsqu'elle occupe plus de 80% de l'habitat. Y a-t-il prolifération au bout d'un an et demi ? au moins de décembre ?

[pzorba75]

Dans ce genre d'énoncé, il faut être plus soigneux que tu l'es et utiliser correcteur l'éditeur de texte pour bien placer les indices et ne pas écrire Sn, Sn+1, mn et mn+1 mais S_n, S_n+1, m_n et m_n+1, et si je peux le faire tu peux le faire également. 

Je réponds dans ton style, sans effort, pour te mettre sur la voie :

1) S1=1/2 m1+1/2  oursins et murènes équitablement réparties

S2=(1-3/100)*S1+70/100*3/100*S1+70/100*10/100*m1 (-3/100 pour la mort de 3% des S1, 70% des cases S1 d'oursins morts sont remplacées et 70% des cases de murènes parties sont peuplées d'oursins).

À toi de continuer pour simplifier et obtenir m2.

 

Au travail.