Correction/ Divisibilité et Congruence

[NoctisX55]

Bonsoir! Je souhaiterais que quelqu'un puisse me corriger mes exercices de math spé s'il vous plaît. Je remercie d'avance ceux ou celles qui prendront le temps de m'aider.

Énonce:

 

Réponses:

Exercice 1:

A

1. 137 - 2*2 = 133 = 7*19

Donc 133 est un multiple de 7, ce qui signifie que 1372 est divisible par 7.

2.a) n = 100a + 10b + c
100 congrus à 2 [7]
100a congrus à 2a [7]
10 congrus à 3 [7]
10b congrus à 3b [7]
1 congrus à 1 [7]
c congrus à c [7]
ainsi n = 2a + 3b + c [7]

b) Selon l'énoncé, nous avons m=10a+b-2c
10 congrus à 3 [7]
1 congrus à 1 [7]
b congrus à b [7]
-2 congrus à -2 [7]
-2c congrus à -2c [7]
ainsi m=3a+b-2c

c)n-3m=2a+3b+c-9a-3b+6c=7c-7a. Et 7c-7a congrus à 0[7], puisqu'ils seront obligatoirement des multiples de 7.

m+2n=3a+b-2c+4a+6b+2c=7a+7b. Et 7a+7b congrus à 0[7], puisqu'ils seront obligatoirement des multiples de 7.

d) m congrus à 0[7], d'où n-3m congrus à n[7]. Or n-3m congrus à 0[7], donc n congrus à 0[7].

     n congrus à 0[7], d'où m+2n congrus à m[7]. Or m+2n congrus à 0[7], donc m congrus à 0[7].

Ainsi les proposition n congrus à 0[7] et m congrus à 0[7] sont équivalente.

e) J'en conclus quoi ? Là je suis un peu perdu ^^'.

 

B

1) Si n est pair, donc 10^n= 10^0, 10^2 ... 10^2n. De plus le reste modulo 11 de 10^2n est tout le temps de 1, donc par disjonction de cas on a bien 10^n congrus à 1[11] si n est pair.

Si n est impair, donc 10^n= 10^1, 10^3 ... 10^2n+1. De plus le reste modulo 11 de 10^2n+1 est tout le temps de -1, donc par disjonction de cas on a bien 10^n congrus à -1[11] si n est impair.

2) Je n'y arrive absolument pas ici...

3) A= a0-a1 + a2-a3+ ... + (-1)^n * an = 6-5+0-3+-8+4-5+9-0=0. Or 0 est un multiple de 11, donc 945 823 056 est divisible par 11.

4)787 766 554 433 221

A= a0-a1 + a2-a3+ ... + (-1)^n * an = 1-2+2-3+2-4+4-5+5-6+6-7+7-8+8-0=0. Or 0 est un multiple de 11, donc 945 823 056 est divisible par 11.

 

Exercice 2:

Ici, quoique je fasse je tombe sur 0. J'ai une fois posé un système avec x²-7y²=3 et  x²=3+7y². Une autre fois j'ai tenté la congruence mais je n'ai pas réussi à le faire. Et il en va de même pour la divisibilité.

 

Sur ce je vous souhaite une bonne soirée!

[Barbidoux]

Voilà pour le 2, je regarderais le 1 plus tard

 

[NoctisX55]

Bonjour,

tout d'abord je tiens à vous remercier de votre précieuse aide ! Sinon dans le deux je constate que vous n'avez pas utilisé de système, mais la congruence et la divisibilité (j'avais moi-même essayé, mais sans franc succès ), est-ce-que c'est dû à l'énoncé qui nous dit de résoudre l'équation dans Z ? En attendant votre aide pour la première partie, je vais retenter de faire les questions où je bloque .

 

Sur ce je vous souhaite une bonne journée!

[Barbidoux]

oui il est demandé de trouver des solutions entières.

En ce qui concerne la question 2 de l'exercice 1 voilà ce que j'aurais répondu :

[Barbidoux]

[NoctisX55]

Bonjour,

ben je ne sais quoi dire si ce n'est un énorme merci pour votre immense aide. Sinon j'aurai quelques questions à vous poser, est-ce-que vous pourriez m'expliquer comment vous avez fait la 2)d de l'exercice 1 (critère de divisibilité par 7) et la 2 de l'exercice 1 (critère de divisibilité par 11) ?

 

Sur ce je vous souhaite une bonne journée!

[Barbidoux]

Dis moi ce que tune comprends pas dans ce que j'ai écrit, je te l'expliquerais.

Pour la 2d : Si deux nombres sont congrus à k toute combinaison linéaire de ces deux nombres l'est aussi.

[NoctisX55]

Bonjour, tout d'abord je vous prie de m'excuser car lors de mon message je me suis emmêler les pinceaux . Sinon voici la partie que je ne comprends pas:

[Barbidoux]

a1 est le chiffre des dizaines donc a1a0 s'écrit 10*a1+a0=11*a1-a1+a0  le reste de la division euclidienne de a1a0 par 11 est donc  a0-a1[11]

a2 est le chiffre des centaines donc a2a1a0 s'écrit 100*a2+10*a1+a0=99*a2+a2+11*a1-a1+a0  le reste de la division euclidienne de a2a1a0 par 11 est donc  a0-a1+a2[11]

etc....

[NoctisX55]

Bonsoir!

 

Encore et toujours je vous remercier de votre aide. Sinon je pense bien avoir compris votre démarche sur cet exerce .

Sur ce je vous souhaite une bonne soirée!