Exercice ouvert

[berlier]

Bonjour à tous donc voilà j'ai un exercice de prise d'initiative et je ne sais pas par ou commencer, pouvez vous m'aider merci d'avance. 

La figure ci-contre représente un cercle de rayon R, un carré inscrit dans ce cercle, un cercle inscrit dans ce carré et ainsi de suite.

1) on a trace quatre cercles et quatre carrés. Déterminer l'aire totale des zones colorées en fonction de R.

2)vers quelle limite tend l'aire totale des zones colorées lorsque l'on poursuit la construction indéfiniment.

[Denis CAMUS]

Bonjour,

Si tu appelles R le rayon du premier cercle (cercle externe) :

Quelle est son aire ?

Quel est le côté du premier carré ?

Que vaut son aire ?

Quelle est la différence des aires ?

[berlier]

L'aire est *R 

Le côté est égal à 2 (theoreme de Pythagore)

Son aire vaut (2) 

La différence est *R-(2) 

Je Ne suis vraiment pas sur de ce que j'ai écrit .

[Denis CAMUS]

Non, le côté ne fait pas √2 car √2 est un nombre (1,4142...) indépendant du rayon. Tu dois trouver une expression contenant R.

[berlier]

Ah oui donc √2R?

[Denis CAMUS]

Oui, finis les calculs.

[berlier]

Je ne sais pas comment finir les calcul vraiment je ne comprend pas.

[Barbidoux]

On s'intéresse à la partie colorée S en violet et à a relation qui lie les surfaces violettes successive comprises entre deux cercles consécutifs et les carrés inscrits dans ces cercles.

On démontre que Sn+1=Sn/2.

Il s'en suit que S=Somme pour k allant de  1 à n  de Sk=R^2*(π-2)*(1+1/2+(1/2)^2+.........(1/2)^n)=R^2*(π-2)*(1-(1/2)^(n+1))/(1-1/2))=2*R^2*(π-2)*(1-(1/2)^(n+1))

Lorsque n->∞ alors (1/2)^n->0 et S-> 2*R^2*(π-2)=2*R^2(π-2) et la surface violette couvre (2*(π-2)/π=0.7267=72.67% de la surface du cercle

[Denis CAMUS]

Je crois que tu as mis la barre assez haute là !

[Barbidoux]

Salut Denis

La seule difficulté est de penser à une série donc à comparer deux étapes successives pour établir la relation qui les lie. Pour le reste j'ai supposé connu le théorème de Pythagore, les surfaces d'un cercle et d'un carré, ... et bien sur la sommes de n termes d'une série géométrique de premier terme R^2(π-2) et de raison 1/2. Mais si il y a des incompréhensions je détaillerais les étapes... 

 

[Denis CAMUS]

Oui, mais il faudrait qu'il fasse un tableau avec les données des quatre premiers cercles et carrés pour répondre à la première question et se rendre compte alors de la raison 1/2.

[Barbidoux]

Oui,. La principale difficulté réside dans la compréhension de la récurrence,

- le diamètre R_n d'un cercle de rang n est la diagonale du carré de rang n et de côté C_n=R_n√2,

- ce côté R_n√2 devient le diamètre du cercle suivant R_n+1=R_n√2 de rang n+1 de côté  C_n+1=R_n+1*√2=2*R_n  et ainsi de suite

ce montre que les surface successives (de deux cercles ou de deux carrés) sont dans un rapport (1/√2)^2=1/2.

[berlier]

Je suis vraiment désolé je me sens un peu perdu est ce que je ne pourrai pas reprendre l'étape 1 et refaire ma meme chose avec l'étape deux en fait pourrai je avoir plus de détail je vous remercie du fond du coeur pour le temps que vous avez pris mais je suis un peu perdu

[Barbidoux]

C'est ce que j'ai fait, que ce soit l'étape 1 et 2 ou n et n+1 c'est la même chose.

A l'étape 1 la surface du cercle vaut πR^2 celle du carré vaut 2*R^2, la différence de surface (zone bleue des premiers cercle et carré)  vaut R^2(π-2)

A l'étape 2 la surface du cercle vaut πR^2/2 celle du carré vaut 2*R^2/2, la différence de surface (zone bleue des premiers cercle et carré)  vaut R^2(π-2)/2

A l'étape 3 la surface du cercle vaut πR^2/4 celle du carré vaut 2*R^2/4, la différence de surface (zone bleue des premiers cercle et carré)  vaut R^2(π-2)/4

etc....  

[berlier]

Ah d'accord merci beaucoup je comprend beaucoup mieux et donc la je dois arriver l'étape 4 c sa? Et j'aurai l'aire de la partie colorée ?

[berlier]

Ah non c'est bon je dois faire la somme de toutes les étapes c'est ça ? 

[Barbidoux]

Pour les 4 premier cercles et carrés la surface bleue vaudra :

S=R^2*(π-2)*(1+1/2+1/4+1/8)

[berlier]

Ah d'accord donc en fait la raison est 1/2

Et si l'on poursuit jusqu'à l'infini elle sera de 1/2^n et d'après le cour un terme avec puissance n tend vers 0 ??

 

[Barbidoux]

ce te donne une suite géométrique de raison 1/2 et de premier terme 1, tu a du voir en cour l'expression de la somme des n termes d'une telle suite. 

[berlier]

Oui c'est  Sn=(1-q^n)/(1-q)

[berlier]

Donc Sn=(1-1/2^n)/1/2??

[berlier]

Mais pourquoi dois-je utiliser la somme des termes ?

[Denis CAMUS]

 Parce que tu dois additionner le résultat du calcul de l'aire de chaque paire "cercle - carré". (Mais je ne suis pas sûr d'avoir bien saisi ton interrogation).

Quand tu fais l'addition, tu remarques que tu peux mettre en facteur "R^2(π-2)" :

A l'étape 1 la surface du cercle vaut πR^2 celle du carré vaut 2*R^2, la différence de surface (zone bleue des premiers cercle et carré)  vaut R^2(π-2)

A l'étape 2 la surface du cercle vaut πR^2/2 celle du carré vaut 2*R^2/2, la différence de surface (zone bleue des premiers cercle et carré)  vaut R^2(π-2)/2

A l'étape 3 la surface du cercle vaut πR^2/4 celle du carré vaut 2*R^2/4, la différence de surface (zone bleue des premiers cercle et carré)  vaut R^2(π-2)/4

Soit :

R^2(π-2) + R^2(π-2)/2 + R^2(π-2)/4 + .... = R^2(π-2) (1 + 1/2 + 1/4 + ....)

[Kew]

Oui j'ai bien compris cela mais ce que je ne comprend pas c'est pourquoi je dois utiliser l'expression de la somme des n termes , que doit je faire avec est-ce que je dois m'en servir pour la limites ? 

[Barbidoux]

pour calculer la valeur de la surface bleue lorsque n-> ∞ qui est la limite de  S =R^2*(π-2)*(1+1/2+(1/2)^2+............................+(1/2)^n)=R^2*(π-2)*(1-(1/2)^(n+1))/(1/2)

Fais attention ce que tu écris "Sn=(1-1/2^n)/1/2??" est incorrect il faut écrire Sn=(1-(1/2)^n)/(1/2) de plus cette relation est incorrecte, la somme de n terme d'une série géométrique de premier terme u₁ et de raison r vaut S=u₁*(1-r^(n+1))/(1-r)