Achille et le paradoxe de l'infini

[Lectrice]

Bonjour,

J'ai deux exercices pour lundi prochain et je bloque sur le premier.

Énoncé :

A priori la somme d’un nombre infini de longueurs est une longueur infinie. Au Vème
siècle avant J.C., le grec Zénon d’Elée (-490 ; -425) nous exprime qu’il peut en être
autrement :
Achille, célèbre pour sa rapidité, court à vitesse constante sur une longueur de 1 km.
Précisons que le kilomètre n’existait pas encore à cette époque.
À la 1ère étape, Achille parcourt la moitié de la longueur de la course. À la 2e étape, il
parcourt la moitié de la longueur restante et ainsi de suite en poursuivant le processus de
division.
L’objectif de cette activité est de démontrer que plus on ajoute d’étapes, plus on se
rapproche de l’arrivée sans la dépasser.
1) Quelle est la distance parcourue durant 2e étape de la course ? Durant la 3e étape ?
Durant la 4e étape ?
2) On note un la distance parcourue durant la n-ième étape de la course.
Démontrer que (un) est une suite géométrique dont on donnera la raison q et le premier
terme u1.
3) Exprimer un en fonction de n.
4) a) Démontrer que pour tout n, on a : u1 + u2 + ...+ un = 1− 0,5n .
b) Calculer la limite de cette somme et donner une interprétation du résultat.
5) À l’aide de la calculatrice, déterminer le nombre minimum d’étapes pour approcher
l’arrivée à moins de 1 mm.

Tout d'abord j'ai une question, quand il est demandé la distance parcourue pendant la 2e étape, doit on prendre en compte ce qui a aussi été fait pendant la 1ere étape ou seulement ce qui a été fait pendant la 2e ?

Là ou j'en suis :

1) J'ai trouvé 1/4 puis 1/8 puis 1/16.
2) Et c'est là que je bloque, comment faire ? J'ai eu un professeur de maths très absent l'an dernier et j'ai donc un gros retard comme le reste de ma classe.

Je n'ai pas fait la suite puisque j'ai besoin de trouver le résultat de la 2 d'abord.

Merci beaucoup à quiconque prendra le temps de m'aider !

L.

[pzorba75]

(u_n) est une suite géométrique de raison 1/2, u₀=1 et u_n=1/2ⁿ.

Avec les formules du cours sur la somme des termes d'une suite géométrique, tu peux répondre aux questions posées

[Lectrice]

Mais comment démontrer qu'elle est géométrique ? Merci de votre réponse en tout cas !

[Lectrice]

De plus, u0 ne peut pas valoir 1 sinon il aurait parcouru toute la distance !

[pzorba75]

Juste alors u₁=1/2, et ainsi tu peux continuer à chercher.