Partie entière

[william01]

Bonjour 

Pourriez vous m'aidez pour cette exercice svp

je n'y arrive pas 

 

Merci

[Barbidoux]

a)-------------

On appelle partie entière de x le nombre entier n tel que n≤E(x)<n+1

deux cas sont à considérer :

x est un réel qui appartient à Z alors E(x)+E(-x)=0

x est un réel qui n'appartient pas à Z alors E(x)+E(-x)=-1

b)----------

Par définition  E(x)≤x<E(x)+1et E(y)≤y<E(y)+1 ==> E(x)+E(y)≤ x+y < E(x)+E(y)+2.  E(x+y) est le plus grand entier inférieur ou égal à x+y ==>  E(x)+E(y) ≤ E(x+y)  

 

E(x+y)+1 est le plus petit entier strictement supérieur à x+y==> E(x+y)+1 ≤ E(x)+E(y)+2, c’est-à-dire E(x+y) ≤ E(x)+E(y)+1 et donc :

 E(x)+E(y) ≤ E(x+y)≤ E(x)+E(y)+1 

c)----------

Par définition E(n*x)≤n*x

n appartenant à N ==> E(n*x)/n<x 

Par définition x<y ==> E(x)≤E(y) donc 

 E(E(n*x)/n)≤E(x)

d)----------

n appartenant à n

0<1 ==> 4*n^2+4*n≤4*n^2+4+1=(2*n+1)^2 ==> 2√n^2+n≤2*n+1 ==>2*n+1 

+2√n^2+n≤4*n+2 ==>n+2*√n*√(n+1)+n+1≤4*n+2 ==> (√n+√(n+1))^2≤4*n+2

La différence entre  (√n+√(n+1))^2 et 4*n+2 étant telle que 4*n+2-(√n+√(n+1))^2<1 on en déduit que E'((√n+√(n+1))^2)=E(4*n+2)