DM: Aire maximale dans une parabole

[marco972]

Bonjour, j'ai un DM mais je n'arrive pas quelqu'un pourrait m'expliquer s'il vous plaît?

" f est la fonction polynôme de degré 2 définie sur R par f(x)= -2x²+24-40.

P est la courbe représentative dans un repère. A Et B sont les points d'intersection de la parabole P avec l'axe des abscisses et M est un point de P dont l'abscisse a est comprise entre les abscisses de A et B.

On note S(a) l'aire du triangle ABM.

a) Déterminer la position du point M pour laquelle l'aire S(a) est maximale.

b) Déterminer les positions du point M pour les-quelle S(a)≥100. Arrondir au centième."

J'ai joint la figure.

Merci d'avance. 

Ex 80p30.ggb

[Barbidoux]

On note S(a) l'aire du triangle ABM.

a) Déterminer la position du point M pour laquelle l'aire S(a) est maximale.

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H est le projeté orthogonal de M sur AB. S(a)=AB*MH

f(x) admet deux racines x=2 et x=10 ==> AB=8 ==>S(a)=8*(-2*a^2+24*a-40)/2. S(a) est maximale lorsque f(a) l'est. La forme canonique de f(x) est f(x)=-2*((x-6)^2-32. On en déduit que f(a) est maximale pour a=6 et vaut S(6)=4*f(6)=32*8/2=128 cm^2

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b) Déterminer les positions du point M pour les-quelle S(a)≥100. Arrondir au centième."

S(a)=4*(-2*a^2+24*a-40)≥100 ==> -2*a^2+24*a-65≥0  le polynôme -2*a^2+24*a-65 admet deux racines qui sont x=(12-√14)/2≈4.129 et x=(12+√14/2) ≈7.870 est est du signe du coefficient de x^2 à l'extérieur des racines. On en déduit que l'abscisse a de M doit appartenir à l'intervalle [(12-√14)/2; (12+√14/2)] pour que S(a)≥100

 

[marco972]

Merci

[marco972]

Bonjour, 

Comment dans la question b on passe de 4(-2a^2+24a-40)≥100 à -2a^2+24a-65≥0?

[Barbidoux]

4(-2a^2+24a-40)≥100 ==>  -2a^2+24a-40≥25==> -2a^2+24a-40-25≥0

[marco972]

Ah d'accord, merci