Détermination d'un maximum

[TotoTiti]

Bonjour j'aurai besoin d'aide pour ce DM que je dois rendre pour demain . Merci . 

On découpe une poutre de section rectangulaire dans un tronc d'arbre. 

Problème: Dans un tronc de section donnée, comment obtenir la poutre la plus résistante à la flexion? 

On prend comme unité de longueur le rayon du tronc d'arbre OA=1. 

Si l'on note h=AB la hauteur et l=DA la largeur alors on considère que la raideur de cette poutre varie suivant le produit f=l*h2 . 

Cette raideur caractérise la résistante à la flexion.  Le but du problème est donc de déterminer l'angle a pour lequel la poutre sera la moins sensible à la flexion ?

 

Alors moi mon raisonnement a été celui la :

BDA est rectangle en A, donc:

BD² =BA² +DA²

2² =l² +h²

h² =l² +4

l*h² =l3 -4l

f= l3 -4l

Après sa je remplace par x, donc:

f(x)=x³ -4x

f ' (x)= 3x² -4x

Delta = 48

x1= -1,15  

x2=1,15

Après je pense qu'il faut faire un tableau de variation , mais j'en suis pas sure .Pourriez vous me guider svp.

 

[Barbidoux]

l=2*cos(a)

h=2*sin(a)

f(a)=l*h^2=4*cos(a)*sin(a)^2=4*cos(a)*(1-cos(a)^2)

-----------

f'(a)=-4*sin(a)+3*cos(a)^2*sin(a)=sin(a)*(3*cos(a)^2-1)*sin(a)

s'annule pour sin(a)=0 et cos(a)=1/√3 et cos(a)=-1/√3

remarque a appartient à [0, π/2]

Tableau de variation de f(a)

a……0…………………ArcCos(1/√3)……………π/2…………ArcCos(-1/√3)………π

f'(a)…0……..(+)…………..0………………(-)…………….(-)………(0)………(+)……0

f(a)….0…..crois…………Max…………….décrois………décrois…Min…….crois….

la raideur de la poutre est maximale pour l'angle 

a=ArcCos(1/V3)*180/π=54.74°

graphe de f(a)